数学基础 -- 线性代数正交多项式之勒让德多项式展开推导

勒让德多项式展开的详细过程

勒让德多项式是一类在区间 $[-1,1]$ 上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数 $a_n$ 的详细过程。

1. 勒让德展开的基本假设

给定一个函数 $f(x)$，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{P}_n(x),$$
其中 $P_n(x)$ 是第 $n$ 阶勒让德多项式，$a_n$ 是对应的展开系数。

我们的目标是找到每个 $a_n$ 的值。为了做到这一点，我们将利用勒让德多项式的 正交性。

2. 勒让德多项式的正交性

勒让德多项式在区间 $[-1,1]$ 上满足正交性关系：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx=0,\text{当}n\ne m.$$
这意味着如果 $n\ne m$，那么 $P_n(x)$ 和 $P_m(x)$ 的内积为零。

当 $n=m$ 时，有：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x{)}^{2}dx=\frac{2}{2n+1}.$$

3. 推导勒让德展开系数 $a_n$

为了推导勒让德展开系数 $a_n$，我们可以按照以下步骤进行：

步骤 1：将函数 $f(x)$ 表示为勒让德多项式的线性组合

假设函数 $f(x)$ 可以表示为勒让德多项式的展开：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{P}_n(x).$$
我们需要找到每个 $a_n$ 的值。

步骤 2：将方程两边乘以 $P_n(x)$ 并积分

为了提取每个勒让德多项式的系数 $a_n$，我们将方程两边乘以 $P_n(x)$，然后在区间 $[-1,1]$ 上对 $x$ 进行积分：
$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx={\int }_{-1}^1\left(\sum _{m=0}^{\infty }{a}_m{P}_m(x)\right)P_n(x)dx.$$
这里我们对 $f(x)$ 乘上了勒让德多项式 $P_n(x)$ 并积分。

步骤 3：利用勒让德多项式的正交性

根据勒让德多项式的正交性，上述右侧的积分可以简化为：
$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx=a_n{\int }_{-1}^1{P}_n(x{)}^{2}dx.$$
由于正交性，所有 $m\ne n$ 的项都为零，留下的只有 $m=n$ 的那一项。

步骤 4：使用勒让德多项式的归一化公式

勒让德多项式的归一化公式为：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x{)}^{2}dx=\frac{2}{2n+1}.$$
因此，我们可以得到：
$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx=a_n\cdot \frac{2}{2n+1}.$$

步骤 5：解出勒让德系数 $a_n$

通过将上式除以 $\frac{2}{2n+1}$，我们可以得到勒让德系数 $a_n$：
$$a_n=\frac{2n+1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx.$$

4. 实例：计算 $f(x)=x^2$ 的勒让德展开

让我们通过具体函数 $f(x)=x^2$ 来展示如何计算勒让德展开系数。

计算 $a_0$

根据公式：
$$a_0=\frac{2(0)+1}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2{P}_0(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2\cdot 1dx.$$
计算该积分：
$$a_0=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$$

计算 $a_1$

根据公式：
$$a_1=\frac{2(1)+1}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2{P}_1(x)dx=\frac{3}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2\cdot xdx.$$
计算该积分：
$$a_1=\frac{3}{2}{\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=\frac{3}{2}{\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-1}^1=0.$$
由于 $x^3$ 是奇函数，积分为 0。

计算 $a_2$

根据公式：
$$a_2=\frac{2(2)+1}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2{P}_2(x)dx=\frac{5}{2}{\int }_{-1}^1{x}^2\cdot \frac{1}{2}(3x^2-1)dx.$$
我们将积分展开：
$$a_2=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(3x^4-x^2)dx=\frac{5}{4}\left(3{\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx\right).$$
计算两个积分：
$${\int }_{-1}^1{x}^{4}dx={\left[\frac{x^5}{5}\right]}_{-1}^1=\frac{2}{5},{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}.$$
因此：
$$a_2=\frac{5}{4}\left(3\cdot \frac{2}{5}-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{4}\left(\frac{6}{5}-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{15}=\frac{2}{3}.$$

5. 总结

通过详细的推导，我们得到了函数 $f(x)=x^2$ 在勒让德多项式基底上的展开系数：

• $a_0=\frac{1}{3}$
• $a_1=0$
• $a_2=\frac{2}{3}$

因此，函数 $f(x)=x^2$ 可以表示为勒让德多项式的线性组合：
$$f(x)=\frac{1}{3}{P}_0(x)+\frac{2}{3}{P}_2(x).$$
代入勒让德多项式的具体表达式：
$$f(x)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(3x^2-1)=x^2.$$

这个过程展示了如何利用勒让德多项式的正交性来计算展开系数，并将函数表示为勒让德多项式的线性组合。