断点回归模型

断点回归（Regression Discontinuity Design, RDD）是一种准实验设计方法，用于评估政策或其他干预措施的效果。这种方法利用了一个清晰的阈值或“断点”，在这个阈值上，处理状态（例如是否接受某种干预）会突然改变。通过比较断点两侧单位的差异，可以估计出干预效果。

一个生活中的例子是关于学生的奖学金分配。假设一所大学设立了一项奖学金，只有那些平均成绩达到80分以上的学生才有资格获得。这里，80分就是断点。在80分之上的学生和80分之下的学生在其他方面可能非常相似，但由于这个政策，他们的一个关键区别就是前者获得了奖学金而后者没有。

• 有一个突变过程，想象一下分段跳跃函数

反事实：
如果你不读博，你现在在干嘛？可惜你已经读博了，回不去了。所以反事实很难构建。

取平均后的效应（$S_1-S_0$）是被高估的。

原因：

• 1.高分可能人更聪明，可能获得更好的发展空间

• 2.高分人的家庭条件更好，实习的机会更多，家庭的社会资源更广

• 3.。。。。就是原因可能并不完全来自【政策、处理】的效应。
  那么该如何估计呢？

• 1.设计一个小窗

• 2.在小窗内建立一个模型，但限制在小窗范围内

• 3.用前一个断点代替反事实

• 4.两者相减，得到处理效应
  

• 断点推文
  

模拟实验验证

• 产生数据
  
• 数据可视化

传统估计方法

• 简单均值比较
  
  
• 全样本回归
  
  
  分别估计断点前后的线，计算出${\tau }_2-{\tau }_1$就是处理效应。
  这种也是高估的。
• 下面展示的是模型设定造成的偏差
  
  
• 下面是正解

断点：多项式回归-二次函数

断点：局部线性

• 适用条件:在断点局部有足够多的数据

RDD估计-理论

• 截距的阐释
  
  

• 以上就是一个平移【左加右减】，可以看出线不动，动坐标轴

• $xc<0$ control 组 and $xc>0$ treat组

• 其实用用${\alpha }_1$当作 ${\alpha }_2$反事实。

• 关于h（窗宽）h越大，样本区间越大，估计越准确，但风险越高（样本区间的x和y不一定是线性关系），h越小，线性拟合越合理。

分两种情形的讨论

• 模型-平行斜率（左1）
• 模型-变斜率（左2、3）
  注意在模型假设的形式上的区别。

当h扩大，线性假设可能不成立，如下图。所以，可以采取加平方项的局部多项式回归。模型假设如下（右下角）

记住一点：RDD算的处理效应其实就是在断点两边分别估完方程后与y【断点竖向轴线】的交叉值的差 其实斜率不重要。

RDD的stata模拟

• 标准stata的RDD实现代码
  

最优带宽的选择

rdrobust y x  自动选择带宽

• 一般在论文中要报告：左右两边的图像拟合情况。下面是代码和图像
  

• 注意：上图的散点其实是的分组 求平均的
• 比如：N=4000，带宽内的样本占比0.2，N1=800，在左右分成20组，一组N2=20，对组内求平均，左右各画20个点。
  

扩展：是否加入控制变量

连老师：其实不用，加入控制变量会出现变量冗余，通过局部多项式估计（1次2次3次项作为控制）之后，其实就够了，但一部分文献做了，可能是为了估得更准。
建议：都行，目前在争论。

关于局部多项式【高阶问题】 项数的选择问题

给出实验


模拟数据给出：阶数似乎越大越好，但这是基于我们知道模拟数据的真实情况，日常科研中，我们不是上帝，不知道真是的处理效果。

• 解决办法：信息准则
  
  
• AIC的模型更丰满（参数更多）-选M8
• BIC的模型更骨干（参数较少）-先M5

核加权局部多项式

• 用核密度函数估计

lpoly y x if x<0 ,at(cut) gen(av_y0) 左边条件
lpoly y x if x>=0 ,at(cut) gen(av_y1) 左边条件

总结

• 借助局部线性回归模型 Or 非线性（加入平方、三次、n次控制）
• 关键点是h的选择，有自动的代码rdrobust