二分思想与相关问题（下）

接下来详细讲解几道比较难的例题，仔细体会二分和其他概念混合在一起的趣味。

下面这道题涉及了“碎片拼接”的概念，很妙，也很难想。

$Problem5$ 同时运行N台电脑的最长时间 LeetCode2141

你有 n 台电脑。给你整数 n 和一个下标从 0 开始的整数数组 batteries ，其中第 i 个电池可以让一台电脑 运行 batteries[i] 分钟。你想使用这些电池让 全部 n 台电脑 同时 运行。

一开始，你可以给每台电脑连接 至多一个电池 。然后在任意整数时刻，你都可以将一台电脑与它的电池断开连接，并连接另一个电池，你可以进行这个操作 任意次 。新连接的电池可以是一个全新的电池，也可以是别的电脑用过的电池。断开连接和连接新的电池不会花费任何时间。

注意，你不能给电池充电。

请你返回你可以让 n 台电脑同时运行的 最长 分钟数。

示例 1：

输入：n = 2, batteries = [3,3,3]
输出：4
解释：
一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 1 连接。
2 分钟后，将第二台电脑与电池 1 断开连接，并连接电池 2 。注意，电池 0 还可以供电 1 分钟。
在第 3 分钟结尾，你需要将第一台电脑与电池 0 断开连接，然后连接电池 1 。
在第 4 分钟结尾，电池 1 也被耗尽，第一台电脑无法继续运行。
我们最多能同时让两台电脑同时运行 4 分钟，所以我们返回 4 。

示例 2：

输入：n = 2, batteries = [1,1,1,1]
输出：2
解释：
一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 2 连接。
一分钟后，电池 0 和电池 2 同时耗尽，所以你需要将它们断开连接，并将电池 1 和第一台电脑连接，电池 3 和第二台电脑连接。
1 分钟后，电池 1 和电池 3 也耗尽了，所以两台电脑都无法继续运行。
我们最多能让两台电脑同时运行 2 分钟，所以我们返回 2 。

提示：

• 1 <= n <= batteries.length <= 10^5
• 1 <= batteries[i] <= 10^9

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问题分析:

假设$N$台电脑同时运行的时间的$time$，我们贪心地想，这个$time$越大，说明每台机器的耗电量越大，而电池的个数以及各自电量就那么点，就更容易把这些电池消耗完。也就是说，假设$N$台电脑能够同时运行$time$时间，那么$N$台电脑也一定能同时运行$time-1$时间，反之则不一定同时运行$time+1$时间。

所以我们可以得出 $time$与$N$台电脑能否同时运行$time$时间具体单调函数关系:

现在我们来讨论怎么解决

​ 【问题5-1】给定整数$time$，返回$N$台电脑能否同时运行$time$时间。

解决这个问题我们就要对电池的电量数组进行分析，如果某个电池的电量$energy>=time$，说明这个电池可以从0时刻开始就给某台电脑供电，直到$time$结束。我们称这种电池为”完美电池“，与之相对应的自然是碎片电池，碎片电池的电量$energy<time$。在整个分析过程中，我们可以把”完美电池单拎出来“，因为一个”完美电池“就可以完成一台电脑的供电，假设完美电池的个数为$m$，那我们就只需要分析，在碎片电池组成的碎片电量数组条件下，$N-m$台电脑能否同时运行$time$时间。

这就涉及到**”碎片拼接“**问题了，我先给出结论：

​ 【结论5-1】只要碎片数组的累加和$sum>=time\ast (N-m)$，那么这N-m台电脑就可以同时运行time时间。

我们拿电量数组$[7,6,5,7,8,9]$（对应着$A,B,C,D,E,F$号电池）来给甲乙丙丁四台电脑供电同时运行$10$分钟来举例子。

从甲开始，甲先用$A$电池供$7$分钟电，剩下三分钟由$B$电池供，那我就用$B$电池给乙供电，供3分钟以便留3分钟给甲，那乙还需要七分钟，我们用$C$电池给乙供剩下来的七分钟里的5分钟，剩余2分钟换$D$供，那丙我就用$D$供五分钟，再用$E$供五分钟，丁先用$E$供一分钟，剩下九分钟全用$F$供。文字描述有点冗杂，同学们看下面这张图吧。

“碎片拼接”的证明我稍后再讲，现在我们只需要再分析一下二分筛选条件，这道题目就可以解出来了。

​ $time$非负，所以左边界$left=0$，$N$台电脑的最长运行时间数肯定小于各电池的电量和$sum$，所以右边界$left=sum$。如果这$N$台机器不能同时运行$mid$时间，则选取左半部分作为收敛区间$right=mid-1$，如果这$N$台机器可以同时运行$mid$时间，则选取右半部分作为收敛区间，并用$answer$记录当前可行解$answer=mid,left=mid+1$。

解决代码：

bool check(vector<int>& batteries, long time, int n) {long sum = 0;for (int i : batteries) {if (i >= time) { // 完美電池n--;if (n == 0)return true;} else {sum += i;}if (sum >= time * n)return true;}return false;
}long long maxRunTime(int n, vector<int>& batteries) {long left = 0;long All = 0;for (int i : batteries) {All += i;}long right = All;long long answer = 0;while (left <= right) {long mid = left + ((right - left) >> 1);if (check(batteries, mid, n)) {answer = mid;left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return answer;
}

这个解法其实还可以利用贪心分析进行优化，同学们可以自己思考思考。

$Problem6$ 计算等位时间

描述：

给定一个数组$arr$长度为$n$，表示$n$个服务员，每服务一个顾客的时间。

给定一个正数$m$，表示有$m$个人等位，如果你是刚来的人，每个客人遵循有空位就上的原则，请问你需要等多久？假设$m$远远大于$n$，比如$n<=10^3$,$m<=10^9$,该怎么做是最优解？【谷歌一连考了好几个月，很经典的情景题】

问题分析：

我们记等待时间为$time$，如果$time$和某个变量具有函数单调性，那么就可以对$time$进行二分。经历前五道题的磨炼我们知道，“某个变量”一定要和题目中给的条件扯上关系。

根据题目条件，服务员的个数以及每个服务员服务客户的时间是固定的，也就是说，这家餐厅在单位时间内的客户接待量是固定的【我们假设服务场景发生的餐厅，这个假设无关紧要，只是方便大家去理解】，排在我前面的顾客数量$m$越大，那我们就需要等待更多的时间，换而言之，

​ 如果排在我前面的顾客数量为$m$时，我们需要等待$tim{e}_1$时间，那当排在我前面的顾客数量为$n,n<m$时，我们需要等待的时间$tim{e}_2$一定不会大于$tim{e}_1$。

根据上面分析我们很容易想到二分筛选条件：如果$time$时间内餐厅接待的客人个数$>=m$，说明等待时间可以提前结束，我们选取左半部分区间来进行区间收敛$answer=mid,right=mid-1$。如果$time$时间内餐厅接待的客人个数$<m$，则说明在$time$时间过后仍有人在排队，我需要继续等待，所以我们选择右半部分区间来进行区间收敛$left=mid+1$。

现在我们只需要解决下面的问题就能进行二分搜索，

​ 【问题6-1】给定时间$time$，请问餐厅在$time$时间内最多能接待多少个客人【接待指的是服务客人并结束服务，$time$时刻还在接受服务的客人不参与计数】。

【问题6-1】利用贪心思想便可解决，要想服务的客人数量多，那服务员的工时就必须更长，我们就把服务员的工时拉满，全部工作$time$时间。最后只需要统计每个服务员工作$time$时间接待的顾客数，最后再求和即可。

在这里我给出【问题6-1】的解决代码：

bool check_Pro6(vector<int> arr, int time,int m) {int sum = 0;for (int i : arr) {sum += time / i;}if (sum >= m)    return true;else    return false;
}

二分筛选条件也讨论过，现在只差边界了，等待时间非负，所以左边界$left=0$，右边界可以这么去粗略确定，如果所有服务员的工作效率都和最慢的服务员一样，那么我需要等待的时间会比实际等待时间长很多，实际等待时间一定会小于 最低工作效率接待m个顾客所需要的时间。最低工作效率所需要的时间 对应着$arr$数组的最大值$max$*$(m/n)$。

解决代码：

在这里只给出主体框架二分代码：

int solution_Pro6(vector<int> arr, int m) {int max = 0;for (int i : arr) {max = i > max ? i : max;}int left = 0;int right = max * (m / arr.size());int answer;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (check_Pro6(arr, mid, m)) {answer = mid;right = mid - 1;}else {left = mid + 1;}}return answer;
}