圆锥曲线练习

设$A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$
$l:y=k\left(x+2\right)$
显然$y=0$符合题意
当$k\ne 0$
联立$l$和$C$
$$\left(k^2+\frac{1}{2}\right)x^2+4k^{2}x+4k^2-1=0$$
$$\Delta >0\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}$$
由韦达定理
$$x_1+x_2=-\frac{4k^2}{\frac{1}{2}+k^2}$$
$A$和$B$的中点为$D\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
由$GD$和$l$垂直得
$$\begin{array}{rl}\frac{\frac{y_1+y_2}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{x_1+x_2}{2}-0}\cdot k& =-1\\ \frac{k\frac{x_1+x_2}{2}+2k+\frac{1}{2}}{\frac{x_1+x_2}{2}-0}\cdot k& =-1\\ k^2+\frac{4k^2}{x_1+x_2}+\frac{k}{x_1+x_2}& =-1\\ k^2-\frac{1}{2}-k^2-\frac{\frac{1}{2}+k^2}{4k}& =-1\\ k& =1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

因此$l:y=0$或$y=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(x+2\right)$