OpenCV结构分析与形状描述符（12）椭圆拟合函数fitEllipseAMS()的使用

• 操作系统：ubuntu22.04
• OpenCV版本：OpenCV4.9
• IDE:Visual Studio Code
• 编程语言：C++11

算法描述

围绕一组2D点拟合一个椭圆。

该函数计算出一个椭圆，该椭圆拟合一组2D点。它返回一个内切于该椭圆的旋转矩形。使用了由[260]提出的近似均方差（AMS）方法。

对于椭圆，这个基集是$\chi =\left(x^2,xy,y^2,x,y,1\right)$,这是一个包含六个自由系数的集合 A T = { A xx , A xy , A yy , A x , A y , A 0 } A^T=\left\{A_{\text{xx}},A_{\text{xy}},A_{\text{yy}},A_x,A_y,A_0\right\} AT={Axx​,Axy​,Ayy​,Ax​,Ay​,A0​}然而，要指定一个椭圆，只需要五个数字；主轴和次轴的长度$(a,b)$,位置$(x_0,y_0)$以及方向 θ。这是因为基集包含了直线、二次函数、抛物线和双曲线函数以及椭圆函数作为可能的拟合。如果发现拟合是一个抛物线或双曲线函数，则使用标准的 fitEllipse 方法。AMS 方法通过施加条件$A^T(D_x^T{D}_x+D_y^T{D}_y)A=1$ 来限制拟合为抛物线、双曲线和椭圆曲线，其中矩阵$Dx$和$Dy$Dy 是设计矩阵D关于x 和y的偏导数。矩阵是通过逐行应用以下规则来形成的，针对点集中的每一个点： D ( i , : ) = { x i 2 , x i y i , y i 2 , x i , y i , 1 } D x ( i , : ) = { 2 x i , y i , 0 , 1 , 0 , 0 } D y ( i , : ) = { 0 , x i , 2 y i , 0 , 1 , 0 } \begin{align*} D(i,:)&=\left\{x_i^2, x_i y_i, y_i^2, x_i, y_i, 1\right\} & D_x(i,:)&=\left\{2 x_i,y_i,0,1,0,0\right\} & D_y(i,:)&=\left\{0,x_i,2 y_i,0,1,0\right\} \end{align*} D(i,:)​={xi2​,xi​yi​,yi2​,xi​,yi​,1}​Dx​(i,:)​={2xi​,yi​,0,1,0,0}​Dy​(i,:)​={0,xi​,2yi​,0,1,0}​
AMS 方法最小化成本函数:
$$\begin{array}{c}{ϵ}^2=\frac{A^T{D}^{T}DA}{A^T(D_x^T{D}_x+D_y^T{D}_y)A^T}\end{array}$$
通过求解广义特征值问题找到最小成本。
$$\begin{array}{c}{D}^{T}DA=\lambda \left(D_x^T{D}_x+D_y^T{D}_y\right)A\end{array}$$

fitEllipseAMS 是 OpenCV 中用于拟合椭圆的一个函数，它使用了“代数方法”（Algebraic Method）来进行椭圆拟合。相比于 fitEllipse 函数使用的最小二乘法，fitEllipseAMS 更侧重于代数意义上的拟合，适用于某些特定的应用场景。

函数原型

RotatedRect cv::fitEllipseAMS
(InputArray 	points
)	

参数

• points 输入的2D点集，存储在 std::vector<> 或 Mat 中。

代码示例

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>using namespace std;
using namespace cv;int main()
{// 创建一个空白图像Mat img( 400, 400, CV_8UC3, Scalar( 255, 255, 255 ) );// 创建一组2D点vector< Point2f > points;points.push_back( Point2f( 100, 100 ) );points.push_back( Point2f( 200, 100 ) );points.push_back( Point2f( 200, 200 ) );points.push_back( Point2f( 100, 200 ) );points.push_back( Point2f( 150, 150 ) );points.push_back( Point2f( 150, 250 ) );points.push_back( Point2f( 250, 150 ) );points.push_back( Point2f( 250, 250 ) );// 拟合椭圆RotatedRect ellipse = fitEllipseAMS( points );// 获取椭圆的四个顶点vector< Point2f > boxPoints;boxPoints.resize( 4 );  // 确保boxPoints至少有4个元素ellipse.points( boxPoints.data() );// 将 Point2f 转换为 Pointvector< Point > intBoxPoints;for ( const auto& pt : boxPoints ){intBoxPoints.push_back( Point( static_cast< int >( pt.x ), static_cast< int >( pt.y ) ) );}// 在原图上绘制椭圆polylines( img, intBoxPoints, true, Scalar( 0, 0, 255 ), 2, LINE_8 );// 绘制点集for ( const auto& pt : points ){circle( img, pt, 5, Scalar( 0, 255, 0 ), -1 );}// 显示结果imshow( "Ellipse Fitting (AMS)", img );waitKey( 0 );return 0;
}

运行结果