数据结构实验1

实验题1：求1到n的连续整数和

题目描述

编写一个程序,对于给定的正整数n,求1+2+…十n,采用逐个累加与(n+1)/2(高斯法)两种解法。对于相同的n,给出这两种解法的求和结果和求解时间,并用相关数据进行测试。

运行代码

//实验题1：求1到n的连续整数和
#include<iostream>
#include<time.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
using namespace std;
#define ll long long 
ll add1(ll n) {ll sum = 0;for (ll i = 1; i <= n; i++) {sum += i;}return sum;
}
void AddTime1(ll n) {clock_t t;ll sum;t = clock();sum = add1(n);t = clock() - t;cout << "方法一：" << endl;printf(" 结果：1 到 %lld 之和：%lld\n", n, sum);printf(" 用时：%lf 秒\n", ((double)t) / CLOCKS_PER_SEC);
}
ll add2(ll n) {return n * (n + 1) / 2;
}
void AddTime2(ll n) {clock_t t;ll sum;t = clock();sum = add2(n);t = clock() - t;cout << "方法二：" << endl;printf(" 结果：1 到 %lld 之和：%lld\n", n, sum);printf(" 用时：%lf 秒\n", ((double)t) / CLOCKS_PER_SEC);
}
int main() {ll n;printf("n(大于 1000000):");cin >> n;if (n < 1000000) return 0;AddTime1(n);AddTime2(n);return 0;
}

代码思路

1. 头文件和命名空间
   • 包含了必要的输入输出流头文件 <iostream>、时间相关头文件 <time.h>、标准输入输出头文件 <stdio.h> 和数学库头文件 <math.h>。
   • 使用 using namespace std 引入标准命名空间。
   • 定义宏 ll 为 long long，方便后续使用长整型数据类型。
2. 函数定义
   • add1 函数：使用循环遍历从 1 到 n 的整数，逐个累加求和。
   • AddTime1 函数：测量 add1 函数的执行时间，并输出结果和用时。
   • add2 函数：利用数学公式 n*(n+1)/2 直接计算从 1 到 n 的整数之和。
   • AddTime2 函数：测量 add2 函数的执行时间，并输出结果和用时。
3. main 函数
   • 从用户输入获取整数 n，要求 n 大于 1000000，否则程序退出。
   • 分别调用 AddTime1 和 AddTime2 函数，对两种方法进行测试。

4. 方法一的原理：循环遍历从 1 到 n 的每个整数，逐个累加到变量 sum中，最终得到从 1到 n 的整数之和。这种方法直观易懂，但当 n 较大时，循环执行次数较多，可能会比较耗时。

5. 方法二的原理：利用数学公式 1 + 2 + 3 +... + n = n*(n+1)/2 直接计算从 1 到 n 的整数之和。这个公式可以通过数学归纳法证明。这种方法避免了循环遍历，计算效率更高，尤其是对于较大的 n。

通过测量两种方法的执行时间，可以看出当 n 较大时，方法二通常比方法一执行速度更快，因为方法二避免了大量的循环迭代操作，直接利用数学公式进行计算。

实验题2:常见算法时间函数的增长趋势分析

题目描述

运行代码

//实验题2:常见算法时间函数的增长趋势分析
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double log2(double n) {return log10(n) / log10(2);
}
int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1)return 1;elsereturn n * factorial(n - 1);
}
int main() {cout << "n\tlog2(n)\t√n\tn\tn^2\tn^3\t2^n\tn!" << endl;for (int n = 1; n <= 10; n++) {cout << n << "\t" << log2(n) << "\t" << sqrt(n) << "\t" << n << "\t" << n * n << "\t" << n * n * n << "\t" << pow(2, n) << "\t" << factorial(n) << endl;}return 0;
}

代码思路

一、代码思路

1. 函数定义
   • log2函数：通过换底公式logₐb = logₑb / logₑa，这里使用以 10 为底的对数函数log10计算出以 2 为底的对数。
   • factorial函数：使用递归的方式计算给定整数n的阶乘。当n为 0 或 1 时，阶乘为 1；否则，n的阶乘等于n乘以n - 1的阶乘。
2. main函数
   • 首先输出表头，展示不同算法时间函数的名称。
   • 使用循环从 1 到 10 遍历整数n。
   • 在循环中，分别计算并输出n、以 2 为底n的对数、n的平方根、n、n的平方、n的立方、2 的n次方、n的阶乘的值。

二、原理

1. log2(n)：对数函数的增长非常缓慢。随着n的增大，对数函数的值增长速度远远慢于线性增长。
2. √n：平方根函数的增长速度比线性增长慢，但比对数函数快。
3. n：代表线性增长，即随着n的增加，函数值以相同的比例增加。
4. n^2：二次函数的增长速度比线性增长快得多。当n增大时，二次函数的值增长迅速。
5. n^3：三次函数的增长速度比二次函数更快。
6. 2^n：指数函数的增长速度非常快，远远超过其他函数。
7. n!：阶乘函数的增长速度是所有这些函数中最快的。随着n的增大，阶乘函数的值呈爆炸式增长。

通过输出这些不同函数在不同n值下的结果，可以直观地观察到它们的增长趋势差异，对于分析算法的时间复杂度非常有帮助。例如，在选择算法时，如果一个算法的时间复杂度是指数级的（如2^n或n!），那么对于较大的输入规模，该算法可能会非常耗时，而如果算法的时间复杂度是线性的（如n）或对数级的（如log2(n)），则通常会更加高效。

实验题3:求素数的个数

题目描述

编写一个程序,求1~n的素数个数。给出两种解法,对于相同的n,给出这两种解法的结果和求解时间,并用相关数据进行测试。

运行代码

//实验题3:求素数的个数
#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
bool isPrime1(int n) {// 方法 1：传统方法判断素数，时间复杂度 O(n)if (n < 2) return false;for (int i = 2; i < n; i++) {if (n % i == 0) return false;}return true;
}
int prime1(int n) {int count = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime1(i)) count++;}return count;
}
bool isPrime2(int n) {// 方法 2：改进方法判断素数，时间复杂度 O(√n)if (n < 2) return false;if (n == 2 || n == 3) return true;if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false;for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;}return true;
}
int prime2(int n) {int count = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime2(i)) count++;}return count;
}
void PrimeTime1(int n) {clock_t start = clock();int count = prime1(n);clock_t end = clock();double time_taken = double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;cout << "方法 1：1 到 " << n << " 的素数个数为 " << count << "，用时 " << time_taken << " 秒。" << endl;
}
void PrimeTime2(int n) {clock_t start = clock();int count = prime2(n);clock_t end = clock();double time_taken = double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;cout << "方法 2：1 到 " << n << " 的素数个数为 " << count << "，用时 " << time_taken << " 秒。" << endl;
}
int main() {int n;cout << "输入 n(n>100000)：";cin >> n;PrimeTime1(n);PrimeTime2(n);return 0;
}

代码思路

一、代码思路

1. 函数定义
   • isPrime1函数：采用传统方法判断一个整数是否为素数。从 2 开始到该数减 1 进行遍历，如果存在能整除该数的数，则不是素数，否则是素数。时间复杂度为。
   • prime1函数：利用isPrime1函数，遍历从 2 到n的所有整数，统计其中素数的个数。
   • isPrime2函数：改进的方法判断素数。先处理特殊情况小于 2 的数、2 和 3。然后根据素数的性质，只需要判断到该数的平方根即可，并且只需要考虑 6 的倍数两侧的数（即i和i + 2），因为所有大于等于 5 的素数一定可以表示为 6k ± 1 的形式。时间复杂度为。
   • prime2函数：与prime1类似，使用isPrime2函数遍历从 2 到n的整数，统计素数个数。
   • PrimeTime1函数：测量prime1函数的执行时间，并输出素数个数和用时。
   • PrimeTime2函数：测量prime2函数的执行时间，并输出素数个数和用时。
2. main函数
   • 提示用户输入一个大于 100000 的整数n。
   • 分别调用PrimeTime1和PrimeTime2函数，对两种方法进行测试并输出结果。

二、原理

1. 素数的定义：素数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除。

2. 两种判断素数方法的原理：

   • 方法 1：传统方法通过遍历所有小于该数的整数来判断是否有能整除它的数。这种方法虽然直观，但效率较低，因为需要进行大量的除法运算。
   • 方法 2：改进的方法利用了素数的分布规律。首先处理特殊情况，然后只需要判断到该数的平方根，并且只考虑特定形式的数，减少了不必要的判断，提高了效率。

3. 统计素数个数的原理：通过遍历一定范围内的整数，对每个整数使用判断素数的函数进行判断，如果是素数则计数器加一。

4. 测量执行时间的原理：使用clock_t类型记录程序开始和结束的时间，通过计算时间差并除以CLOCKS_PER_SEC得到程序的执行时间，以秒为单位。

通过比较两种方法，可以看出在处理较大范围的素数个数计算时，改进后的方法（方法 2）具有更高的效率，因为其时间复杂度更低。

实验题4:求连续整数阶乘的和

题目描述

编写一个程序,对于给定的正整数n,求1!+2!+3!+…+n!。给出一种时间复杂度为O(n)的解法。

运行代码

//实验题4:求连续整数阶乘的和
#include <iostream>
using namespace std;
long long Sum(int n) {long long sum = 0;long long fact = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {fact *= i;sum += fact;}return sum;
}
int main() {int n;cout << "输入正整数 n(3-20)：";cin >> n;if (n < 3 || n>20)return 0;long long result = Sum(n);cout << "1! + 2! + 3! +... + " << n << "! 的结果为：" << result << endl;return 0;
}                

代码思路

一、代码思路

1. Sum函数：
   • 循环结束后，返回sum，即从 1 到n的连续整数阶乘之和。
   • 通过循环从 1 到n遍历整数。在每次循环中，先将fact乘以当前的整数i，得到当前整数的阶乘，然后将这个阶乘累加到sum中。
   • 初始化变量fact为 1，用于存储当前整数的阶乘。
   • 初始化变量sum为 0，用于存储连续整数阶乘的和。
2. main函数：
   • 提示用户输入一个正整数n，要求在 3 到 20 之间。
   • 如果输入的n不在这个范围内，程序直接返回 0 退出。
   • 调用Sum函数计算从 1 到n的连续整数阶乘之和，并将结果存储在result中。
   • 输出结果，显示从 1 到n的连续整数阶乘之和的具体值。

二、原理

1. 阶乘的定义：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的乘积。例如，5 的阶乘是 5! = 5×4×3×2×1 = 120。

2. 计算连续整数阶乘之和的原理：

   • 通过循环依次计算每个整数的阶乘，并将其累加到总和中。
   • 首先，初始化阶乘为 1，因为 1 的阶乘是 1。然后，从 2 开始，每次将当前整数乘以当前的阶乘得到新的阶乘，并将新的阶乘累加到总和中。
   • 这样，通过循环可以依次得到 2!、3!、4!…… 直到n!，并将它们累加到总和中，最终得到从 1! 到n!的连续整数阶乘之和。