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【趣学Python算法100例】兔子产子

问题描述

有一对兔子,从出生后的第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子,假设所有的兔子都不死,问30个月内每个月的兔子总对数为多少?

在这里插入图片描述

题目解析

兔子产子问题是一个有趣的古典数学问题,我们画一张表来找一下兔子数的规律,如表1.1所示。

月数小兔子对数中兔子对数老兔子对数兔子总对数
11001
20101
31012
41113
52125
63238
753513

我们可以发现,这个问题的繁殖模式符合斐波那契数列的递推规律:

  • 第1、2个月只有一对兔子。
  • 从第3个月开始,每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数之和。因为新生的兔子对数等于两个月前的兔子对数。

算法设计

本题目是典型的迭代循环,即是一个不断用新值取代变量的旧值,然后由变量旧值递推出变量新值的过程。这种迭代与这些因素有关:初值、迭代公式和迭代次数。经过问题分析,算法可以描述为

Python语言来描述迭代公式即为fib=fib1+fib2,其中fib为当前新求出的兔子对数,fib1为前一个月的兔子对数,fib2为前两个月的兔子对数,然后为下一次迭代做准备,进行如下的赋值fib2=fib1fib1=fib,要注意赋值的次序;迭代次数由循环变量控制,为所求的月数。

解题思路

  1. 定义斐波那契数列:兔子的数量符合斐波那契数列的递推关系。即:
    • F(n) = F(n-1) +F(n-2) (从第3个月开始)
    • 第1个月:F(1)=1 对
    • 第2个月:F(2)=1 对
  2. 递推计算:从第3个月开始,每个月的兔子总数等于前两个月兔子数之和。
  3. 最终目标:我们需要计算30个月内每个月的兔子总对数。

代码实现

def rabbit_pairs(months):if months <= 0:return 0elif months == 1 or months == 2:return 1# 初始化前两个数值prev1, prev2 = 1, 1# 从第三个月开始计算for month in range(3, months + 1):current = prev1 + prev2prev1, prev2 = prev2, currentreturn current# 计算30个月的兔子总对数
months = 30
total_rabbits = rabbit_pairs(months)
print(f"在第 {months} 个月,兔子的总对数为: {total_rabbits}")

解释:

  1. 递归关系:我们使用变量 prev1prev2 来存储前两个月份的兔子对数,然后通过递推计算当前月份的兔子总对数。
    • prev1 存储的是前一个月的兔子对数。
    • prev2 存储的是当前月的兔子对数。
    • 每次更新这两个变量,直到计算出第30个月的兔子总对数。
  2. 递推过程
    • 初始时,第1、2个月的兔子总对数都为1对。
    • 从第3个月开始,当前月的兔子总数等于前两个月兔子对数之和。

验证结果

运行上述代码后,得到30个月的兔子总对数为:

在第 30 个月,兔子的总对数为: 832040

总结:

这道题的繁殖模型符合斐波那契数列的递推关系。通过递推法,我们可以高效地计算每个月的兔子总对数,并快速得到30个月内兔子的数量。

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