【趣学Python算法100例】兔子产子

问题描述

有一对兔子，从出生后的第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子，假设所有的兔子都不死，问30个月内每个月的兔子总对数为多少？

题目解析

兔子产子问题是一个有趣的古典数学问题，我们画一张表来找一下兔子数的规律，如表1.1所示。

月数	小兔子对数	中兔子对数	老兔子对数	兔子总对数
1	1	0	0	1
2	0	1	0	1
3	1	0	1	2
4	1	1	1	3
5	2	1	2	5
6	3	2	3	8
7	5	3	5	13

我们可以发现，这个问题的繁殖模式符合斐波那契数列的递推规律：

• 第1、2个月只有一对兔子。
• 从第3个月开始，每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数之和。因为新生的兔子对数等于两个月前的兔子对数。

算法设计

本题目是典型的迭代循环，即是一个不断用新值取代变量的旧值，然后由变量旧值递推出变量新值的过程。这种迭代与这些因素有关：初值、迭代公式和迭代次数。经过问题分析，算法可以描述为

用Python语言来描述迭代公式即为fib=fib1+fib2，其中fib为当前新求出的兔子对数，fib1为前一个月的兔子对数，fib2为前两个月的兔子对数，然后为下一次迭代做准备，进行如下的赋值fib2=fib1，fib1=fib，要注意赋值的次序；迭代次数由循环变量控制，为所求的月数。

解题思路

1. 定义斐波那契数列：兔子的数量符合斐波那契数列的递推关系。即：
   • F(n) = F(n-1) +F(n-2) （从第3个月开始）
   • 第1个月：F(1)=1 对
   • 第2个月：F(2)=1 对
2. 递推计算：从第3个月开始，每个月的兔子总数等于前两个月兔子数之和。
3. 最终目标：我们需要计算30个月内每个月的兔子总对数。

代码实现

def rabbit_pairs(months):if months <= 0:return 0elif months == 1 or months == 2:return 1# 初始化前两个数值prev1, prev2 = 1, 1# 从第三个月开始计算for month in range(3, months + 1):current = prev1 + prev2prev1, prev2 = prev2, currentreturn current# 计算30个月的兔子总对数
months = 30
total_rabbits = rabbit_pairs(months)
print(f"在第 {months} 个月，兔子的总对数为: {total_rabbits}")

解释：

1. 递归关系：我们使用变量 prev1 和 prev2 来存储前两个月份的兔子对数，然后通过递推计算当前月份的兔子总对数。
   • prev1 存储的是前一个月的兔子对数。
   • prev2 存储的是当前月的兔子对数。
   • 每次更新这两个变量，直到计算出第30个月的兔子总对数。
2. 递推过程：
   • 初始时，第1、2个月的兔子总对数都为1对。
   • 从第3个月开始，当前月的兔子总数等于前两个月兔子对数之和。

验证结果

运行上述代码后，得到30个月的兔子总对数为：

在第 30 个月，兔子的总对数为: 832040

总结：

这道题的繁殖模型符合斐波那契数列的递推关系。通过递推法，我们可以高效地计算每个月的兔子总对数，并快速得到30个月内兔子的数量。