【高等数学学习记录】函数

【高等数学&学习记录】函数

从事测绘工作多年，深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。
为此，打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功，为测绘工作赋能。

1 知识点

1.1 函数

• 设数集$D\subset R$，称映射$f:D\to R$，为定义在$D$上的函数，简记为$y=f(x)$，$x\in D$。
• $x$称为自变量。
• $y$称为因变量。
• $D$称为定义域，记作$D_f$。
• $y$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记作$R_f$或$f(D)$。

1.2 函数的特性

1.2.1 有界性

• 设函数$f(x)$的定义域为$D$，数集$X\subset D$。
• 如果存在数$K_1$，使得$f(x)\le K_1$对任一$x\in X$都成立，则称函数$f(x)$在$X$上有上界。
• 如果存在数$K_2$，使得$f(x)\ge K_2$对任一$x\in X$都成立，则称函数$f(x)$在$X$上有下界。
• 如果存在正数$M$，使得$\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|\le M$对任一$x\in X$都成立，则称函数$f(x)$在$X$上有界；如果这样的$M$不存在，则称函数$f(x)$在$X$上无界。

1.2.2 单调性

• 设函数$f(x)$的定义域为$D$，区间$I\subset D$。设区间$I$上任意两点$x_1$、$x_2$：
• 当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)<f(x_2)$，称函数$f(x)$在区间$I$上单调增加；
• 当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)>f(x_2)$，称函数$f(x)$在区间$I$上单调减少。
• 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.2.3 奇偶性

• 设函数$f(x)$的定义域$D$关于原点对称。
• 对于任一$x\in D$，$f(-x)=f(x)$恒成立时，称$f(x)$为偶函数。
• 对于任一$x\in D$，$f(-x)=-f(x)$恒成立时，称$f(x)$为奇函数。

1.2.4 周期性

• 设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个正数$l$，使得对于任一$x\in D$有$(x\pm l)\in D$，且$f(x+l)=f(x)$恒成立时，称$f(x)$为周期函数，$l$称为$f(x)$的周期。
• 通常说的周期函数的周期是指最小正周期。

1.3 反函数

• 设函数$f:D\to f(D)$是单射，则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$，称此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数。

1.4 复合函数

• 设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且其值域$R_g\subset R_f$。
• 则函数$y=f[g(x)]$($x\in D_g$)称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$构成的复合函数。
• 它的定义域为$D_g$，变量$u$称为中间变量。

1.5 函数的运算

• 设函数$f(x)$，$g(x)$的定义域以此为$D_1$，$D_2$，$D=D_1\cap D_2\ne \varphi$，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
• 和（差）
  $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$，$x\in D$
• 积
  $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$，$x\in D$
• 商
  $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$， x ∈ D ∖ { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } x\in D \setminus\lbrace x|g(x)=0, x\in D\rbrace x∈D∖{x∣g(x)=0,x∈D}

1.6 基本初等函数

1.6.1 幂函数

• $y=x^a$（$a\in R$是常数）
• 如图：$a=5,-10\le x\le 10$
  

1.6.2 指数函数

• $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$，是常数）
• 如图：$a=5$
  

1.6.3 对数函数

• $y=lo{g}_a^x$（$a>0$且$a\ne 1$，是常数；当$a=e$时，记为$y=lnx$）
• 如图：$a=5,0.05<x<100$
  

1.6.4 三角函数

• 如$y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x)$等
• 如图：$y=sin(x),-10<x<10$
  

1.6.5 反三角函数

• 如$y=arcsin(x),y=arccos(x),y=arctan(x)$等
• 如图：$y=arctan(x),-100<x<100$
  

1.7 初等函数

• 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。如：$y=\sqrt{1-x^2}$、$y=\sqrt{cot\frac{x}{2}}$等。

2 练习题

2.1

• 【题目】
  求下列函数的自然定义域。
• 【解答】
  (1) $y=\sqrt{3x+2}$
  由$3x+2\ge 0$，得定义域为 { x ∣ x ≥ − 2 3 } \lbrace x|x\geq -\frac{2}{3}\rbrace {x∣x≥−32​}
  
  (2) $y=\frac{1}{1-x^2}$
  由$1-x^2\ne 0$，得定义域为 { x ∣ x ≠ ± 1 } \lbrace x|x\neq \pm 1\rbrace {x∣x=±1}
  
  (3) $y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}$
  由$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1-x^2\ge 0\end{array}$，得定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1 且 x\neq 0\rbrace {x∣−1≤x≤1且x=0}
  
  (4) $y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$
  由$4-x^2>0$，得定义域为 { x ∣ − 2 < x < 2 } \lbrace x| -2 < x < 2\rbrace {x∣−2<x<2}
  
  (5) $y=sin\sqrt{x}$
  定义域为 { x ∣ x ≥ 0 } \lbrace x| x\geq 0\rbrace {x∣x≥0}
  
  (6) $y=tan(x+1)$
  由$x+1\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in Z$，得定义域为$x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}-1,k\in Z$
  
  (7)$y=arcsin(x-3)$
  由$\left|\begin{array}{c}x-3\end{array}\right|\le 1$，得定义域为 { x ∣ 2 ≤ x ≤ 4 } \lbrace x|2\leq x\leq 4 \rbrace {x∣2≤x≤4}
  
  (8) $y=\sqrt{3-x}+arctan\frac{1}{x}$
  由$\{\begin{array}{l}3-x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}$， 得定义域为 { x ∣ x ≤ 3 且 x ≠ 0 } \lbrace x| x \leq 3 且 x\neq 0\rbrace {x∣x≤3且x=0}
  
  (9) $y=ln(x+1)$
  由$x+1>0$，得定义域为 { x ∣ x > − 1 } \lbrace x| x>-1\rbrace {x∣x>−1}
  
  (10) $y=e^{\frac{1}{x}}$
  定义域为 { x ∣ x ≠ 0 } \lbrace x|x\neq 0 \rbrace {x∣x=0}

2.2

• 【题目】
  下列各题中，函数$f(x)$和$g(x)$是否相同？为什么？
• 【解答】
  定义域和对应法则均相同的函数，相同；否则，函数不同。据此：
  (1) $f(x)=lg{x}^2$，$g(x)=2logx$
  不同。
  定义域不同：$f(x)$的定义域为$x\ne 0$，$g(x)$的定义域为 { x ∣ x > 0 } \lbrace x|x>0\rbrace {x∣x>0}。
  
  (2) $f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}$
  不同。
  对应法则不同：$f(x)=x$而$g(x)=\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|$。
  
  (3) $f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3}$，$g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$
  相同。
  定义域和对应法则均相同。
  
  (4) $f(x)=1$，$g(x)=se{c}^{2}x-ta{n}^{2}x$
  不同。
  定义域不同：$f(x)$的定义域无限制，$g(x)$的定义域为 { x ∣ x ∈ R , x ≠ k π + π 2 ( k ∈ Z ) } \lbrace x|x\in R,x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}(k\in Z)\rbrace {x∣x∈R,x=kπ+2π​(k∈Z)}。

2.3

• 【题目】
  设$$\varphi (x)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\left|\begin{array}{c}sinx\end{array}\right|,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<\frac{\pi }{3}\\ 0,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|\ge \frac{\pi }{3}\end{array}\end{array}$$
  求$\varphi (\frac{\pi }{6}$),$\varphi (\frac{\pi }{4})$,$\varphi (-\frac{\pi }{4})$,$\varphi (-2)$，并作出函数$y=\varphi (x)$的图形。
• 【解答】
  • $\varphi (\frac{\pi }{6})=\left|\begin{array}{c}sin(\frac{\pi }{6})\end{array}\right|=\frac{1}{2}$
  • $\varphi (\frac{\pi }{4})=\left|\begin{array}{c}sin(\frac{\pi }{4})\end{array}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\varphi (-\frac{\pi }{4})=\left|\begin{array}{c}sin(-\frac{\pi }{4})\end{array}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\varphi (-2)=0$
    

2.4

• 【题目】
  试证下列函数在指定区间内的单调性。
• 【证明】
• (1) $y=\frac{x}{1-x},(-\infty ,1)$
  • 设$-\infty <x_1<x_2<1$
  • $\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}=\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}<0$
  • 故其为单调递增函数。
• (2) $y=x+lnx,(0,+\infty )$
  • 设$0<x_1<x_2<+\infty$
  • $x_1+ln{x}_1-x_2-ln{x}_2=(x_1-x_2)+(ln{x}_1-ln{x}_2)<0$
  • 故其为单调递增函数。

2.5

• 【题目】
  设$f(x)$为定义在$(-l,l)$内的奇函数，若$f(x)$在$(0,l)$内单调增加，证明$f(x)$在$(-l,0)$内也单调增加。
• 【证明】
  设$-l<x_1<x_2<0$，则$0<-x_2<-x_1<l$。
  $\because f(x)$定义在$(-l,l)$内的奇函数
  $\therefore f(-x_1)=-f(x_1),f(-x_2)=-f(x_2)$
  $\because f(x)$在$(0,l)$内单调增加
  $\therefore f(-x_2)-f(-x_1)=f(x_1)-f(x_2)<0$
  $\therefore f(x)$在$(-l,l)$内单调增加。

2.6

• 【题目】
  设下面所考虑的函数都是定义域在区间$(-l,l)$上的。证明：
  (1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
  (2) 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
• 【证明1】
  • 设$\varphi (x)=f(x)+g(x)$
  • 设$f(x),g(x)$均为定义在$(-l,l)$上的偶函数，则$\varphi (-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=\varphi (x)$，即$\varphi (-x)=\varphi (x)$，得两个偶函数的和是偶函数。
  • 设$f(x),g(x)$均为定义在$(-l,l)$上的奇函数，则$\varphi (-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-\varphi (x)$，即$\varphi (-x)=-\varphi (x)$，得两个奇函数的和是奇函数。
• 【证明2】
  • 设$\varphi (x)=f(x)\cdot g(x)$
  • 设$f(x),g(x)$均为定义在$(-l,l)$上的偶函数，则$\varphi (-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)=\varphi (x)$，即$\varphi (-x)=\varphi (x)$，得两个偶函数的乘积是偶函数。
  • 设$f(x),g(x)$均为定义在$(-l,l)$上的奇函数，则$\varphi (-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot [-g(x)]=\varphi (x)$，即$\varphi (-x)=\varphi (x)$，得两个奇函数的乘积是偶函数。
  • 设$f(x),g(x)$分别为定义在$(-l,l)$上的偶函数、奇函数，则$\varphi (-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot [-g(x)]=-\varphi (x)$，即$\varphi (-x)=-\varphi (x)$，得偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

2.7

• 【题目】
  下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
• 【解答】
  (1) $y=x^2(1-x^2)$
  首先，$y=f(x)$定义域关于原点对称。
  $\because f(-x)=(-x{)}^2[(1-(-x{)}^2]=x^2(1-x^2)=f(x)$
  $\therefore f(-x)=f(x)$
  $\therefore$ 该函数为偶函数。
  
  (2) $y=3x^2-x^3$
  首先，$y=f(x)$定义域关于原点对称。
  $\because f(-x)=2(-x{)}^2-(-x{)}^3=2x^2+x^3$
  $\therefore f(-x)\ne f(x)$且$f(-x)\ne -f(x)$
  $\therefore$ 该函数即非偶函数又非奇函数。
  
  (3) $y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
  首先，$y=f(x)$定义域关于原点对称。
  $\because f(-x)=\frac{1-(-x{)}^2}{1+(-x{)}^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}=f(x)$
  $\therefore f(-x)=f(x)$
  $\therefore$该函数为偶函数。
  
  (4) $y=x(x-1)(x+1)$
  首先，$y=f(x)$关于原点对称。
  $\because f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=x(x+1)(1-x)=-x(x-1)(x+1)=-f(x)$
  $\therefore f(-x)=-f(x)$
  $\therefore$该函数为奇函数。
  
  (5) $y=sinx-cosx+1$
  首先，$y=f(x)$定义域关于原点对称。
  $\because f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1$
  $\therefore f(-x)\ne f(x)$且$f(-x)\ne -f(x)$
  $\therefore $该函数即非偶函数又非奇函数。
  
  (6) $y=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$
  首先，$y=f(x)$定义域关于原点对称。
  $\because f(-x)=\frac{a^{-x}+a^x}{2}=f(x)$
  $\therefore f(-x)=f(x)$
  $\therefore$该函数为偶函数。

2.8

• 【题目】
  下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。
• 【解答】
  (1) $y=cos(x-2)$
  该函数为周期函数，周期$T=2\pi$。
  
  (2) $y=cos4x$
  该函数为周期函数，周期$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。
  
  (3) $y=1+sin\pi x$
  该函数为周期函数，周期$T=\frac{2\pi }{\pi }=2$。
  
  (4) $y=xcosx$
  该函数不是周期函数。
  
  (5) $y=si{n}^{2}x$
  $\because y=\frac{1-cos2x}{2}$
  $\therefore$该函数为周期函数，周期$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

2.9

• 【题目】
  求下列函数的反函数。
• 【解答】
  (1) $y=\sqrt[3]{x+1}$
  $y^3=x+1$
  $x=y^3-1,x\in R$
  
  (2) $y=\frac{1-x}{1+x}$
  $y+xy=1-x$
  $x+xy=1-y$
  $x=\frac{1-y}{1+y},y\ne -1$
  
  (3) $y=\frac{ax+b}{cx+d},(ad-bc\ne 0)$
  $cxy+dy=ax+b$
  $cxy-ax=b-dy$
  $x=\frac{b-dy}{cy-a},y\ne \frac{a}{c}$
  
  (4) $y=2sin3x,(-\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{6})$
  $sin3x=\frac{y}{2}$
  $3x=arcsin\frac{y}{2}$
  $x=\frac{arcsin\frac{y}{2}}{3},-2\le y\le 2$
  
  (5) $y=1+ln(x+2)$
  $ln(x+2)=y-1$
  $x+2=e^{y-1}$
  $x=e^{y-1}-2,y\in R$
  
  (6) $y=\frac{2^x}{2^x+1}$
  $y{2}^x+y=2^x$
  $2^x-y{2}^x=y$
  $2^x=\frac{y}{1-y}$
  $lo{g}_2^{2^x}=lo{g}_2^{\frac{y}{1-y}}$
  $x=lo{g}_2^{\frac{y}{1-y}},0<y<1$

2.10

• 【题目】
  设函数$f(x)$在数集$X$上有定义，试证：函数$f(x)$在$X$上有界的充分必要条件是它在$X$上既有上界又有下界。

• 【证明】充分条件
  $\because f(x)$在$X$上既有上界又有下界。
  $\therefore \exists K_1$使得任一$x\in X$有$f(x)\le K_1$，$\exists K_2$使得任一$x\in X$有$f(x)\ge K_2$。
  取 K = m a x { ∣ K 1 ∣ , ∣ K 2 ∣ } K=max \lbrace \begin{vmatrix}K_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} K_2 \end{vmatrix} \rbrace K=max{ ​K1​​ ​, ​K2​​ ​} 有 $\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|\le K$
  $\therefore f(x)$有界。

• 【证明】必要条件
  $\because f(x)$在$X$上有界。
  $\therefore \exists K>0$，使得对任一$x\in X$，$ \begin{vmatrix}f(x) \end{vmatrix}\leq K$都成立。
  $\therefore -K\le f(x)\le K$
  $\therefore f(x)$在$X$上既有上界又有下界。

• 综上，命题得证。

2.11

• 【题目】
  在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量$x_1$和$x_2$的函数值。

• 【解答】
  (1) $y=u^2$，$u=sinx$，$x_1=\frac{\pi }{6}$，$x_2=\frac{\pi }{3}$
  复合函数为：$y=f(x)=si{n}^{2}x$
  $y_1=f(x_1)=f(\frac{\pi }{6})=si{n}^2\frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}$
  $y_2=f(x_2)=f(\frac{\pi }{3})=si{n}^2\frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}$
  
  

  (2) $y=sinu$，$u=2x$，$x_1=\frac{\pi }{8}$，$x_2=\frac{\pi }{4}$
  复合函数为：$y=f(x)=sin(2x)$
  $y_1=f(x_1)=sin(2\cdot \frac{\pi }{8})=sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  $y_2=f(x_2)=sin(2\cdot \frac{\pi }{4})=sin\frac{\pi }{2}=1$
  
  

  (3) $y=\sqrt{u}$，$u=1+x^2$，$x_1=1$，$x_2=2$
  复合函数为：$y=f(x)=\sqrt{1+x^2}$
  $y_1=f(x_1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
  $y_2=f(x_2)=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$
  
  

  (4) $y=e^u$，$u=x^2$，$x_1=0$，$x_2=1$
  复合函数为：$y=f(x)=e^{x^2}$
  $y_1=f(x_1)=e^0=1$
  $y_2=f(x_2)=e^1=e$
  
  

  (5) $y=u^2$，$u=e^x$，$x_1=2$，$x_2=-1$
  复合函数为：$y=f(x)=(e^x{)}^2=e^{2x}$
  $y_1=f(x_1)=e^4$
  $y_2=f(x_2)=e^{-2}$

2.12

• 【题目】
  设$f(x)$的定义域$D=[0,1]$，求下列各函数的定义域。

• 【解答】
  (1) $f(x^2)$
  $\because 0\le x^2\le 1$
  $\therefore f(x^2)$的定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1\rbrace {x∣−1≤x≤1}
  

  (2) $f(sinx)$
  $\because 0\le sinx\le 1$
  $\therefore f(sinx)$的定义域为 { x ∣ 2 k π ≤ x ≤ ( 2 k + 1 ) π , k ∈ Z } \lbrace x| 2k\pi \leq x \leq (2k+1)\pi, k\in Z\rbrace {x∣2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
  

  (3) $f(x+a),(a>0)$
  $\because 0\le x+a\le 1$
  $\therefore f(x+a)$的定义域为 { x ∣ − a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x|-a\leq x\leq 1-a \rbrace {x∣−a≤x≤1−a}
  

  (4) $f(x+a)+f(x-a),(a>0)$
  由$\{\begin{array}{l}0\le x+a\le 1\\ 0\le x-a\le 1\end{array}$
  得$-a\le x\le 1-a$与$a\le x\le 1+a$同时成立。
  $\because a>0$
  $\therefore a>-a$
  当$a>1-a$，即$a>\frac{1}{2}$时，$f(x+a)+f(x-a)$的定义域为$\Phi$;
  当$a\le \frac{1}{2}$时，$f(x+a)+f(x-a)$的定义域为 { x ∣ a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x| a\leq x \leq 1-a \rbrace {x∣a≤x≤1−a}。

2.13

• 【题目】
  设$$f(x)\{\begin{array}{ll}1,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<1\\ 0,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|=1,g(x)=e^x\\ -1& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>1\end{array}$$求$f[g(x)]$和$g[f(x)]$。

• 【解答】

• 求$f[g(x)]$
  当$x<0$时，$0<g(x)=\left|\begin{array}{c}g(x)\end{array}\right|<1$；
  当$x=0$时，$g(x)=\left|\begin{array}{c}g(x)\end{array}\right|=1$;
  当$x>0$时，$g(x)=\left|\begin{array}{c}g(x)\end{array}\right|>1$
  可得$f[g(x)]=\{\begin{array}{ll}1,& x<0\\ 0,& x=0\\ -1,& x>0\end{array}$

• 求$g[f(x)]$
  $g[f(x)]=\{\begin{array}{ll}e,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<1\\ 1,& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|=1\\ \frac{1}{e},& \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>1\end{array}$
  
  

2.14

• 【题目】
  已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角$\varphi =40°$。当过水断面$ABCD$得面积为$S_0$时，求湿周$L(L=AB+BC+CD)$与水深$h$之间的函数关系式，并指明定义域。
  

• 【解答】
  由等腰梯形图形关系可得，$$AB=CD=h/sin40°\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$AD=BC+2\cdot h/tan40°.\text{\hspace{1em}(2)}$$根据梯形面积计算公式得，$$S_0=h\cdot (AD+BC)/2.\text{\hspace{1em}(3)}$$
  将$(2)$式代入$(3)$式得，$$\begin{array}{rl}{S}_0& =h\cdot (BC+2\cdot h/tan40°+BC)/2\\ & =h\cdot BC+h^2/tan40°\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  进一步转换得，$$BC=\frac{S_0-h^2/tan40°}{h}=\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40°}.\text{\hspace{1em}(5)}$$
  综上，湿周$$\begin{array}{rl}L& =AB+BC+CD\\ & =\frac{h}{sin40°}+\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40°}+\frac{h}{sin40°}\\ & =\frac{S_0}{h}+\frac{2-cos40°}{sin40°}h\end{array}$$
  由$BC=\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40°}>0$得，定义域 { h ∣ 0 < h < S 0 t a n 40 ° } \lbrace h|0< h<\sqrt{S_0tan40\degree}\rbrace {h∣0<h<S0​tan40° ​}。

2.15

• 【题目】
  收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，没多订购1台，售价就降低1分，但最低为每台75元。
  (1) 将每台的实际售价$p$表示为订购量$x$的函数；
  (2) 将厂方所获的利润$P$表示成订购量$x$的函数；
  (3) 某一销售商订购了1000台，厂方可获利润多少？
• 【解答(1)】
  $p(x)=\{\begin{array}{ll}90,& 0<x\le 100\\ 90-\frac{x-100}{100},& 100<x\le 1600\\ 75,& x>1600\end{array}$
• 【解答(2)】
  $P(x)=\{\begin{array}{ll}(90-60)x=30x,& 0<x\le 100\\ (90-\frac{x-100}{100}-60)x=(31-\frac{x}{100})x,& 100<x\le 1600\\ (75-60)x=15x,& x>1600\end{array}$
• 【解答(3)】
  $(31-\frac{1000}{100})\cdot 1000=21000$元。

2.16

• 【题目】
  利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。

  年份	人口数（百万）	当年人口数与上一年人口数的比值
  1986	4936
  1987	5023	1.0176
  1988	5111	1.0175
  1989	5201	1.0176
  1990	5329	1.0246
  1991	5422	1.0175

• 【解答】
  • 1987年至1991年间，“当年人口数与上一年人口数的比值”以1.0175和1.0176为主，故取两数的平均值1.0176为1992年以后各年份“当年人口数与上一年人口的比值”。
  • 1992年开始以后各年份的人口数计算公式为：$y=5422\cdot 1.0176^{(x-1991)}$。式中，$x$为年份数，$y$为$x$年的人口数。
  • 2010年的人口数为：$5422\cdot 1.0176^{(2010-1991)}=5422\cdot 1.0176^{1}9\approx 7553$（百万），约76亿。

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• 【学习资料】
  《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编