（DP）买不到的数目【蓝桥杯】（裴蜀定理）

买不到的数目

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围

2≤n,m≤1000，保证数据一定有解。

输入样例：

4 7

输出样例：

17

前提条件：给定a，b，若d=gcd(a,b)>1（即最大公约数>1）,则一定不能凑出最大数。

因为若d>1，则a和b一定是d的倍数，那么a和b凑出来的数也肯定是d的倍数，所以一定不会存在一个最大数，使得这个数之后的数字都能被a和b凑出来

结论： 如果 a,b均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0不能凑出的最大数是 (a−1)(b−1)−1（这是定理，证明很难，记住定理即可）。

互质：最大公约数为1

裴蜀定理：若a,b的最大公约数为d，怎一定存在两个整数p,q使得ap+bq=d，只要ab互质，则一定有解

若ab互质，则一定存在ap+bq=1，两边同时乘以m  =>  apm+bqm=m  =>  （am-q)p+(bm+p)q=m

方法1. 暴力搜索（打表找规律，会超时，AC50%）

        当要凑的数字减到0的时候，说明凑出来了
        先尝试用p来凑，要凑的数字变成m-p
        再尝试用q来凑，要凑的数字变成m-q
        如果都凑不出来，则返回false

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,ans;
bool dfs(int m,int p,int q){if(!m) return true;if(m>=p&&dfs(m-p,p,q)) return true;if(m>=q&&dfs(m-q,p,q)) return true;return false;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=1000;i++){if(!dfs(i,n,m)) ans=i;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

根据这个暴力搜索我们可以打表找规律，如下：

3 2 1
3 4 5
3 5 7
3 7 11
3 8 13

大致可以发现规律为n=3时，m+1，ans+2
故ans=2m+x
代入数据得x=-3
推得公式为ans=2m-3;(n=3)
同理，多推几个公式

4 7 17
4 9 23
4 11 29

ans=3m-4(n=4)
最后整理得到大致公式ans=(n-1)*(m-1)-1.

方法2.利用公式直接输出答案：（p-1)(q-1)-1

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int main(){cin>>n>>m;cout<<(n-1)*(m-1)-1<<endl;return 0;
}