信息学奥赛一本通 1375：骑马修栅栏(fence) | 洛谷 P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

【题目链接】

ybt 1375：骑马修栅栏(fence)
洛谷 P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

【题目考点】

1. 图论：欧拉回路

• 欧拉回路存在的条件：图中所有顶点的度都是偶数
• 欧拉路径存在的条件：图中只有两个度为奇数的顶点。而且这两个顶点是欧拉路径的起点与终点。

求解欧拉回路使用Hierholzer算法
复杂度：$O(V+E)$

【解题思路】

该图是无向图，顶点就是图中的顶点，栅栏是边。
“栅栏都是连通的”，意味着这是一个无向连通图。
“使每个栅栏都恰好被经过一次”，就是每条边都经过一次。该问题为求欧拉路径。可以使用Hierholzer算法解决。
“两顶点间可能有多个栅栏”意味着可能有重边，但Hierholzer算法可以处理有重边或自环的图。
“输出500进制表示法中最小的一个”，即为输出字典序最小的欧拉路径顶点序列。
只需要在实现Hierholzer算法时，包括选择起始顶点或某顶点的邻接点时，尽量选择编号较小的顶点来访问即可。

在输入边时，统计顶点编号的最大值，作为总顶点数量。

首先从小到大遍历所有顶点

• 如果存在奇数度的顶点，选择该顶点作为起始点。
• 如果不存在奇数度的顶点，那么所有顶点的度都是偶数，任选顶点作为起始点。这里选择1号顶点为起始点。

从起始顶点出发，进行深搜，使用Hierholzer算法求欧拉路径。为了满足条件，必须按顶点编号从小到大访问一个顶点的所有邻接点。

可以使用邻接矩阵或邻接表完成该题。

【题解代码】

解法1：邻接矩阵

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
int edge[N][N], n, m, deg[N];//n:顶点数 m:边数 deg[i]:顶点i的度
stack<int> stk;
void dfs(int u)//Hierholzer算法 
{for(int v = 1; v <= n; ++v){if(edge[u][v]){edge[u][v]--;edge[v][u]--;dfs(v);}}stk.push(u);
}
int main()
{int f, t, st = 1;//st:起点 cin >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){cin >> f >> t;n = max(n, max(f, t));edge[f][t]++;edge[t][f]++;deg[f]++;deg[t]++;}for(int v = 1; v <= n; ++v)//如果找到奇数度顶点，就从奇数度顶点出发，否则从1出发 {if(deg[v] % 2 == 1){st = v;break;}}dfs(st);while(stk.empty() == false){cout << stk.top() << endl;stk.pop();}return 0;
}

解法2：邻接表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
#define M 1050
struct Node
{int v, e;//v：顶点 e：边编号 Node(){}Node(int a, int b):v(a), e(b){}
};
int n, m, beg[N], deg[N];//n:顶点数 m:边数 deg[i]:顶点i的度 beg[i]:顶点i的邻接点从edge[i][beg[i]]开始 
bool vis[M];//vis[i]：边i是否已访问过 
vector<Node> g[N];
stack<int> stk;
bool cmp(Node a, Node b)
{return a.v < b.v;
}
void dfs(int u)//Hierholzer算法 
{for(int &i = beg[u]; i < g[u].size(); ++i){int v = g[u][i].v, e = g[u][i].e;if(vis[e] == false){vis[e] = true;dfs(v);}}stk.push(u);
}
int main()
{int f, t, st = 1;//st:起点 cin >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){cin >> f >> t;n = max(n, max(f, t));g[f].push_back(Node(t, i));g[t].push_back(Node(f, i));deg[f]++;deg[t]++;}for(int v = 1; v <= n; ++v)sort(g[v].begin(), g[v].end(), cmp);for(int v = 1; v <= n; ++v){//如果找到奇数度顶点，就从奇数度顶点出发，否则从1出发 if(deg[v] % 2 == 1){st = v;break;}}dfs(st);while(stk.empty() == false){cout << stk.top() << endl;stk.pop();}return 0;
}