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计算机图形学14：三维图形的投影变换

news 2025/11/8 22:41:03

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作者：非妃是公主
专栏：《计算机图形学》
博客地址：https://blog.csdn.net/myf_666
个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

文章目录
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序
一、三维图形的投影变换
二、平行投影
1. 正投影
Ⅰ. 三视图
① 主视图
② 俯视图
③ 侧视图
④ 三视图效果展示
Ⅱ. 正轴测图
2. 斜投影
Ⅰ. 斜等测图
Ⅱ. 斜二侧图
三、透视投影
1. 一点透视
四、三维观察基本流程
the end……

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二维图形的几何变换	计算机图形学12——二维图形几何变换
三维图形的几何变换	计算机图形学13——三维图形几何变换
三维图形的投影变换	计算机图形学14——三维图形投影变换

序

计算机图形学（英语：computer graphics，缩写为CG）是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科，是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形，事实上同时包括了二维图形以及影像处理。

一、三维图形的投影变换

三维图形的投影变换可分为两类：平行投影和透视投影。

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二、平行投影

平行投影可分为两类：正投影和斜投影。

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1. 正投影

其中正投影中又可以分为：三视图和正轴测图。

Ⅰ. 三视图

① 主视图

在这里插入图片描述

主视图是逆着y轴方向去看，所以y轴的坐标为0，进而变化矩阵如下：

$Tzox=[1000000000100001]T_{zox}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\$

由于主视图已经落在了xoz平面上，所以不需要其它操作。
代码实现如下：

/// <summary>
/// 将点转化为其次坐标
/// </summary>
/// <param name="vertex">点</param>
/// <returns>齐次坐标</returns>
Matrix vertex3D2qici(VERTEX3D vertex3D) {Matrix qiciVertex(4, 1);qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;qiciVertex.matrix[3][0] = 1;return qiciVertex;
}VERTEX3D qici2vertex3D(Matrix qici) {VERTEX3D res;res.x = qici.matrix[0][0];res.y = qici.matrix[1][0];res.z = qici.matrix[2][0];return res;
}VERTEX3D mainViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);Matrix transform;		 // 去掉y坐标变换矩阵transform.matrix[0][0] = 1;transform.matrix[1][1] = 0;transform.matrix[2][2] = 1;transform.matrix[3][3] = 1;Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);VERTEX3D res = qici2vertex3D(qicires);	 return res;
}

② 俯视图

俯视图逆着z轴的方向来看，因此需要将z轴上的坐标置为0，第一步变换矩阵如下：

$Txoy=[1000010000000001]T_{xoy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\$

同时由于最终要是的三个视图落在一个平面内(xoz平面)，因此还需要对视图进行旋转，使得俯视图绕着x轴旋转-90度，第二度变换矩阵如下：

$TRx=[10000cosθ−sinθ00sinθcosθ00001]=[100000100−1000001]T_{Rx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$
此处 $θ=−90∘\theta=-90^{\circ}$

最后还要将主视图和俯视图分开，保持一定间距，还要让俯视图向下平移一个单位向量 $z_0$ 。

$TTz=[10000100001−z00001]T_{Tz}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-z_0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

所以总变换矩阵如下：

$p′=TTz⋅TRx⋅Txoy⋅pp'=T_{Tz}\cdot T_{Rx}\cdot T_{xoy}\cdot p$

VERTEX3D topViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);Matrix transform1;		// 去掉z坐标变换矩阵transform1.matrix[0][0] = 1;transform1.matrix[1][1] = 1;transform1.matrix[2][2] = 0;transform1.matrix[3][3] = 1;Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉z坐标VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp);tmp = rotationForXTransform3D(tmp, -90);		// 沿x轴旋转90度tmp = transTransform3D(tmp, 0, 0, -100);		// 向下平移-1个单位return tmp;
}

③ 侧视图

侧视图为逆着x轴看，所以要将x方向的坐标置为0：

$Tyoz=[0000010000100001]T_{yoz}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

同理，为了与主视图画在一个平面内，使侧视面绕z轴旋转 $90∘90^{\circ}$ ，如下：

$TRx=[cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001]=[0−100100000100001]T_{Rx}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$
然后与主视图有一定间距，向x轴负方向平移 $x_0$ ，如下：
$TTx=[100−x0010000100001]T_{Tx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

所以总变换矩阵如下：

$p′=TTx⋅TRz⋅Tyoz⋅pp'=T_{Tx}\cdot T_{Rz}\cdot T_{yoz}\cdot p$

实现代码如下：

VERTEX3D sideViewTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D);Matrix transform1;		// 去掉x坐标变换矩阵transform1.matrix[0][0] = 0;transform1.matrix[1][1] = 1;transform1.matrix[2][2] = 1;transform1.matrix[3][3] = 1;Matrix qicitmp = dotMatrix(transform1, qiciVertex); // 去掉x坐标VERTEX3D tmp = qici2vertex3D(qicitmp);tmp = rotationForZTransform3D(tmp, 90);	// 沿x轴旋转90度tmp = transTransform3D(tmp, -100, 0, 0);		// 向x负方向平移-1个单位return tmp;
}

④ 三视图效果展示

在这里插入图片描述

测试效果代码：

void testThreeView() {VERTEX3D vertex3D_1 = { 100,100,100 };VERTEX3D vertex3D_2 = { 0,100,0 };VERTEX3D vertex3D_3 = { 200,100,0 };VERTEX3D vertex3D_4 = { 200,0,0 };// 主视图VERTEX3D res1 = mainViewTransform3D(vertex3D_1);VERTEX3D res2 = mainViewTransform3D(vertex3D_2);VERTEX3D res3 = mainViewTransform3D(vertex3D_3);VERTEX3D res4 = mainViewTransform3D(vertex3D_4);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glEnd();// 上视图res1 = topViewTransform3D(vertex3D_1);res2 = topViewTransform3D(vertex3D_2);res3 = topViewTransform3D(vertex3D_3);res4 = topViewTransform3D(vertex3D_4);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glEnd();// 侧视图res1 = sideViewTransform3D(vertex3D_1);res2 = sideViewTransform3D(vertex3D_2);res3 = sideViewTransform3D(vertex3D_3);res4 = sideViewTransform3D(vertex3D_4);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res1.x, res1.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res2.x, res2.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glVertex2f(-res3.x, res3.z);glVertex2f(-res4.x, res4.z);glEnd();cout << res1.x << " " << res1.z << endl;
}// 显示图形
void Display(void) {glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);					//用当前背景色填充窗口// 此处需增加调用基本图形生成函数glColor3f(0.0f, 0.0f, 0.0f);			//设置当前的绘图颜色为红色glBegin(GL_LINES);glVertex2d(-400, 0);glVertex2d(400, 0);glVertex2d(0, 300);glVertex2d(0, -300);glEnd();glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);			//设置当前的绘图颜色为红色testThreeView();glFlush();	//处理所有的OpenGL程序
}// 初始化OpenGL场景
void Initial() {glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f);		//设置窗口背景颜色为白色glMatrixMode(GL_PROJECTION);							//设置投影参数gluOrtho2D(-400.0, 400.0, -300, 300.0);	// 投影面上的模型坐标范围
}int main(int argc, char* argv[]) {//testTransTransform();//testScaleTransform3D();//testSymmetryForXTransform3D();//testSymmetryForYTransform3D();//testSymmetryForZTransform3D();//testSymmetryForXOYTransform3D();//testSymmetryForYOZTransform3D();//testSymmetryForZOXTransform3D();//testMiscutTransform3D();//testRotationForXTransform3D();//testRotationForYTransform3D();//testRotationForZTransform3D();//testThreeView();glutInit(&argc, argv);						// glut初始化glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);//初始窗口显示模式glutInitWindowSize(800, 600);			//设置窗口的尺寸glutInitWindowPosition(200, 200);			//设置窗口的位置glutCreateWindow("基本图形生成");			//创建一个窗口glutDisplayFunc(Display);					//设置当前窗口的显示回调函数Initial();										//完成窗口初始化glutMainLoop();									//启动主GLUT事件处理循环	return 0;
}