《程序员面试金典（第6版）》 面试题 08.11. 硬币（动态规划，组合问题，C++）

题目描述

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

• 输入: n = 5
  输出：2
  解释: 有两种方式可以凑成总金额:
  5=5
  5=1+1+1+1+1

示例2:

• 输入: n = 10
  输出：4
  解释: 有四种方式可以凑成总金额:
  10=10
  10=5+5
  10=5+1+1+1+1+1
  10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明:

• 你可以假设：0 <= n (总金额) <= 1000000

解题思路与代码

这道题我拿到手上，就有了一种拿动态规划去解决它的冲动。所以让我们来看看这道题拿动态规划怎么去解决。

方法一 ：动态规划

第一步，拿到这道题，先分析dp数组的下标以及含义是什么？

• 定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示组成金额n的钱的不同表示方法的数量。

第二步，去确定状态转移方程式什么？

• 对于每一个币值（1,5,10,25），依次从当前硬币的价值处开始遍历直到最大金额n处停止，一共有多少种方法，那么对于当前金额j，可以得出递推公式：
  • dp[j] = (dp[j] + dp[j - 当前币值]) % 1000000007

第三步，去初始化dp数组

• 由于下一步的结果永远都是由上一步所去推出来的，所以我们要直到第一步的数值是多少，才好去做下面的推导
• 我们要将初始化dp[0]为1，因为有一种表示方法是使用0个硬币组成0分。其余元素初始化为0。

第四步，确定如何遍历dp数组。

• 我们要用一个双层的for循环去遍历这个dp数组，这是因为，我们一共有4种硬币的面值。所以我们要一次选择每一种面值的数额去作为其实遍历的点，直到达到题目要求的n时停止。
• 那么代码大概就是这样：

	for(int& coin : coins)for(int i = coin; i < n+1; ++i)dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin])%MOD;

第五步，举例推导dp数组

• 这一步自己在纸上画一画就好了

具体的解决代码如下：

class Solution {
public:int waysToChange(int n) {int MOD = 1000000007;vector<int> dp(n+1);vector<int> coins{1,5,10,25};dp[0] = 1;for(int& coin : coins)for(int i = coin; i < n+1; ++i)dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin])%MOD;return dp[n];}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中n为输入金额。这是因为代码中有两层循环，第一层循环遍历硬币，它是一个常数4（币值：1, 5, 10, 25），第二层循环遍历所有金额，从硬币面值到n。因此，总时间复杂度是O(4n)，可以简化为O(n)。

空间复杂度：O(n)，其中n为输入金额。代码中主要的空间消耗来自dp数组，它的大小为n + 1。因此，空间复杂度为O(n)。

总结

这道题是动态规划里的一道组合类问题。我尝试着把这道题往0-1背包去靠，结果有点费劲。不如就像我这么去解释。

不要硬生生的划分给0-1背包，这就是一道动态规划的组合问题而已。

难度确实始终，也很好理解。但你要往0-1背包去靠，那就很难理解了。我个人感觉。