10.11Python数学基础-多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其分布

假设E是随机试验，Ω是样本空间，X、Y是Ω的两个变量；(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。

联合分布函数
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$
几何意义表示对立体曲线的体积

用平面图形近似表示为：

即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面积。

性质：
（1）0≤F(x,y) ≤1
（2）F(x,y) 不减，例如：y固定，x1<x2，F(x1,y)<F(x2,y)
（3）F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1
（4）F(x,y)分别关于x和y右连续
（5）
$$\begin{gathered} 对于x_1<x_2，y_1<y_2 \\ P(x_1<X\le x_2，y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \end{gathered}$$
图形解释：
$$P(x_1<X\le x_2，y_1<Y\le y_2)$$
表示求以下图形的面积：

等式右边的分布函数用如下图形表示：

$$F(x_2,y_2)$$
表示图中蓝色区域
$$F(x_2,y_1)$$
表示红色区域
$$F(x_1,y_2)$$
表示黄色色区域

所以
$$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)$$
就是只有蓝色的区域

但是
$$F(x_1,y_1)$$
的区域在减的过程中被减掉了两次，需要补回来一次，所以：
$$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)$$
所表示的图形面积才是
$$P(x_1<X\le x_2，y_1<Y\le y_2)$$
所以：
$$\begin{gathered} 对于x_1<x_2，y_1<y_2 \\ P(x_1<X\le x_2，y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \end{gathered}$$
边缘分布

X的边缘分布：
$$F_X(x)=P(X\le x)=F(x,+\infty )=P(X\le x,Y<+\infty )$$
这表示在所有可能的 Y 值上，X 取值 x 的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于x的所有点的面积，Y随意取值。

Y的边缘分布：
$$F_Y(y)=P(Y\le y)=F(+\infty ,y)=P(X<+\infty ,Y\le y)$$
表示在所有可能的 X 值上，Y 取值 y的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于y的所有点的面积，X随意取值。

2.二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布

联合概率质量函数 P(X=x,Y=y) 描述了随机变量 X 和 Y 同时取特定值 x 和y 的概率。联合PMF满足以下性质：

1. 非负性：对于所有的 x 和 y，有 P(X=x,Y=y)≥0。

2. 归一性：所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1，即：
   $$\sum _x\sum _{y}P(X=x,Y=y)=1$$

概率分布表解释：

假设由一个概率分布表：

X\Y	1	2	3
1	0	1/2	1/8
2	1/8	1/8	1/8

非负性表示分布表中的所有概率都要大于等于0。例如：
$$\begin{gathered} P(X=1,Y=2)=\frac{1}{2}\ge 0 \\ P(X=2,Y=2)=\frac{1}{8}\ge 0 \end{gathered}$$
归一性表示分布表中所有概率之和等于1。

联合分布函数
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=\sum _{x_i\le x}\sum _{y_j\le y}P(X=x,Y=y)$$
概率分布表解释：

F(x,y)的值就是在分布表中找到对应的（x，y）对应的位置，然后将其左上角的概率相加。

例如：
$$\begin{gathered} F(1,2)=P(X\le 1,Y\le 2)=P(1,1)+P(1,2)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ F(2,2)=P(X\le 2,Y\le 2)=P(1,1)+P(1,2)+P(2,1)+P(2,2)=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$
边缘分布

边缘概率质量函数可以通过对联合PMF的适当求和得到。

1. 边缘PMF
   $$P_X(x)$$
   ：表示随机变量 X 取特定值 x 的概率，不考虑 Y的值。计算方法为：
   $$P_X(x)=\sum _{y}P(X=x,Y=y)$$
   其中，求和是对所有可能的 y 值进行。

2. 边缘PMF
   $$P_Y(y)$$
   ：表示随机变量 Y取特定值 y 的概率，不考虑 X 的值。计算方法为：
   $$P_Y(y)=\sum _{x}P(X=x,Y=y)$$
   其中，求和是对所有可能的 x 值进行。

概率分布表解释：

对行求和，得到对X的边缘分布。

对列求和，得到对Y的边缘分布。

例如：

X\Y	1	2	3
1	0	1/2	1/8
2	1/8	1/8	1/8

求X的边缘分布：

X	1	2
P	5/8	3/8

当X=1时，求该行的概率之和，即：0+1/2+1/8=5/8

以此类推。

求Y的边缘分布：

Y	1	2	3
P	1/8	5/8	1/4

当Y=1时，求该列的概率之和，即0+1/8=1/8

以此类推。

3.二维连续随机变量的联合密度和边缘密度函数

对于二维连续随机变量 X 和 Y，其分布函数为：
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt$$
则F(x,y)是分布函数，f(x,y)是联合密度函数。

f(x,y)的性质：

1. 非负性：对于所有的 x 和 y，有 f(x,y)≥0。

2. 归一性：在整个 x 和 y 的取值范围上的积分等于1，即：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$$
   这个积分是对所有可能的 x 和 y 值进行的。

例子

假设联合密度函数：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-(x+y)},& x>0,y>0\\ 0,& 其它\end{array}$$
求分布函数F(x,y)

解：

根据分布函数可知：
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt$$
当x>0且y>0时
$${\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt={\int }_0^x{\int }_0^y{e}^{-(s+t)}dsdt={\int }_0^x{e}^{-s}ds{\int }_0^y{e}^{-t}dt=(1-e^{-x})(1-e^{-y})$$
当x,y有一个小于0时
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(s,t)dsdt=0$$
所以
$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}(1-e^{-x})(1-e^{-y}),& x>0,y>0\\ 0,& 其它\end{array}$$
边缘密度函数

边缘分布函数：
$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dt]ds$$
求导，得出边缘密度函数：
$$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy \\ {f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,y)ds={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx \end{gathered}$$
求X的边缘密度函数就是对y求积分，对Y的边缘密度函数就是对x求积分。

例子

假设联合密度函数：
$$f(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}$$
求边缘密度函数。

解：

对X的边缘密度函数：
$$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}dy \\ =\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{(1+y^2)}dy=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)}{\int }_{-\infty }^{+\infty }arctan(y){|}_{-\infty }^{+\infty }=\frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{gathered}$$
对Y的边缘密度函数：
$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=\frac{1}{\pi (1+y^2)}$$

4.条件分布

条件分布是指在已知另一个随机变量或事件的条件下，该随机变量的概率分布。
$$F(x|A)=P(X\le x|A)$$
例子

假设概率密度函数
$$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$$
求在X>1的条件下f(x)的条件分布函数

解：
$$F(x|X>1)=P(X\le x|X>1)$$
当x≤1时：

不满足条件
$$F(x|X>1)=0$$
当x>1时：
$$F(x|X>1)=P(X\le x|X>1)=\frac{P(X\le x,X>1)}{P(X>1)}$$
计算分子：
$$P(X\le x,X>1)=P(1\le X\le x)={\int }_1^x\frac{1}{\pi (1+x^2)}dx=\frac{1}{\pi }arctan(x){|}_1^x=\frac{arctanx}{\pi }-\frac{1}{\pi }.\frac{\pi }{4}=\frac{arctanx}{\pi }-\frac{1}{4}$$
计算分母：
$$P(X>1)={\int }_1^{+\infty }\frac{1}{\pi (1+x^2)}dx=\frac{1}{\pi }arctan(x){|}_1^{+\infty }=\frac{1}{\pi }.(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{4}$$
则
$$F(x|X>1)=\frac{P(X\le x,X>1)}{P(X>1)}=\frac{4arctanx}{\pi }-1$$
所以在X>1的条件下f(x)的条件分布函数
$$F(x|X>1)=\{\begin{array}{ll}\frac{4arctanx}{\pi }-1,& x>1\\ 0,& x\le 1\end{array}$$

5.离散型随机变量的条件分布

条件概率质量函数定义为：
$$P(X=x\mid Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}$$
其中 P(X=x,Y=y)是 X 和 Y的联合概率质量函数，P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数。

从分布表来理解：

假设概率分布表：

X\Y	0	1
0	0.1	0.3
1	0.3	0.3

P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数，Y 的边缘概率质量函数是对列求和：

Y	0	1
P	0.4	0.6

那么在Y=1的条件下，假设x=0，X=x的概率为：
$$P(X=0\mid Y=1)=\frac{P(X=0,Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$$
假设x=1，X=x的概率为：
$$P(X=1\mid Y=1)=\frac{P(X=1,Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$$
则在Y=1的条件下，X的分布函数为：

X	0	1
P(X|Y=1)	0.3	0.3

其它情况如Y=0条件下X的分布函数、X=0及X=1条件下Y的分布函数同上。

6.连续型随机变量的条件分布

在Y=y条件下，条件概率密度函数为：
$$f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数，
$$f_Y(y)$$
是 Y的边缘概率密度函数。

同理，在X=x条件下，条件概率密度函数为：
$$f(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$
其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数，
$$f_X(x)$$
是 X的边缘概率密度函数。

在Y=y的条件下，X的条件分布函数：
$$F(x|y)={\int }_{-\infty }^{x}f(x\mid y)dx={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$$
在X=x的条件下，Y的条件分布函数：
$$F(y|x)={\int }_{-\infty }^{y}f(y\mid x)dy={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv$$
例子

假设
$$f(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)},f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},f_Y(y)=\frac{1}{\pi (1+y^2)}$$
求

在Y=y的条件下，X的条件密度函数；在X=x的条件下，Y的条件密度函数。

解：
$$\begin{gathered} f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{\pi (1+y^2)}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{1}{\pi (1+x^2)} \\ f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\pi (1+x^2)}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{1}{\pi (1+y^2)} \end{gathered}$$

7.随机变量的独立性

定义

两个随机变量 XX 和 YY 被称为独立的，如果它们满足以下条件：

对于连续型随机变量：它们的联合概率密度函数f(x,y)可以表示为各自边缘概率密度函数的乘积：
$$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$$

对于离散型随机变量：它们的联合概率质量函数P(X=x,Y=y)可以表示为各自边缘概率质量函数的乘积：
$$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$$
例子

1.假设我们有两个公平的六面骰子，我们分别将它们记为骰子A和骰子B。

随机变量定义为：

让 X 表示骰子A的结果。

让 Y 表示骰子B的结果。

事件：

事件 A：“骰子A显示的数字大于3”。

事件 B：“骰子B显示的数字是偶数”。

问事件A和B是否独立。

解：

联合概率分布表：

X\Y	1	2	3	4	5	6
1	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36
2	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36
3	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36
4	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36
5	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36
6	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36	1\36

X的边缘概率分布表：

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Y的边缘概率分布表：

Y	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

事件A的概率：
$$P(A)=P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1/2$$
事件B的概率：
$$P(B)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)=1/2$$
事件A和B的联合概率：
$$\begin{gathered} P(AB)=P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=4)+P(X=4,Y=6) \\ +P(X=5,Y=2)+P(X=5,Y=4)+P(X=5,Y=6) \\ +P(X=6,Y=2)+P(X=6,Y=4)+P(X=6,Y=6)=1/4 \end{gathered}$$
所以
$$P(AB)=P(A)P(B)=1/4$$
所以A、B事件是独立的。

2.假设经理8-12点到公司，秘书7-9点到公司，经理和秘书到公司的事件是独立的，求经理和秘书到公司的联合概率。

解：

设X是经理到公司的事件，Y为秘书到公司的事件，则：X、Y的密度函数服从均匀分布。
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},& 8<x<12\\ 0,& 其它\end{array}$$

$$f(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& 7<y<9\\ 0,& 其它\end{array}$$

由于X、Y是独立的，则联合密度函数：
$$f(x,y)=f(x)f(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8},& 8<x<12,7<y<9\\ 0,& 其它\end{array}$$

8.二维随机变量函数的分布

8.1 二维离散型随机变量函数的分布

二维离散型随机变量函数的分布指的是在给定两个离散型随机变量 X 和 Y的情况下，它们函数 Z=g(X,Y)的分布。这里

g(X,Y)是一个定义在 X和 Y取值范围内的函数。

要找到函数 Z 的分布，我们需要确定 Z 的每一个可能值的概率。具体步骤如下：

1. 确定函数的输出值：列出函数 Z=g(X,Y)可能的所有输出值。
2. 计算每个输出值的概率：对于每一个可能的输出值 z，计算 Z=z的概率。这通常涉及到对 X 和 Y的联合概率质量函数 P(X=x,Y=y)进行求和。
3. 构建概率质量函数：构建函数 Z 的概率质量函数，即对于每一个可能的 z，确定 P(Z=z)。

例子

假设有两个离散型随机变量 XX 和 YY，它们的联合PMF如下表所示：

X \ Y	1	2	3
1	0.1	0.2	0.0
2	0.0	0.3	0.0
3	0.1	0.1	0.2

求函数 Z=X+Y。

解：

1. 确定函数的输出值：列出所有可能的 X 和 Y组合的和。

   1+1=2

   1+2=3

   1+3=4

   2+2=4

   2+3=5

   3+3=6

   所以，Z 可能的值是 2, 3, 4, 5, 6。

2. 计算每个输出值的概率：

   P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=0.1

   P(Z=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.2

   P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.0+0.3+0.1=0.4

   P(Z=5)=P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)=0.1

   P(Z=6)=P(X=3,Y=3)=0.2

3. 构建概率质量函数：

   P(Z=2)=0.1

   P(Z=3)=0.2

   P(Z=4)=0.4

   P(Z=5)=0.1

   P(Z=6)=0.2

4. 函数分布表为：

   Z	2	3	4	5	6
   P	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

以上的解法比较麻烦，可以根据分布表来计算。

1.根据Z=X+Y，将X的每行分别于Y的每列分别相加，得到Z的取值，再按X、Y在表格中对应的单元格中的值照抄过来，得到：

Z	2	3	4	3	4	5	4	5	6
P	0.1	0.2	0.0	0.0	0.3	0.0	0.1	0.1	0.2

2.合并Z中重复的值及对应的概率，即概率相加：

Z	2	3	4	5	6
P	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

8.2 二维连续型随机变量函数的分布

二维连续型随机变量函数的分布是指由两个连续型随机变量 (X,Y)构成的联合分布，并通过某种函数关系 Z=g(X,Y)得到一个新的随机变量 Z

的分布。

假设 (X,Y)是一个二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 f(x,y)。设 Z=g(X,Y) 是一个函数关系，其中 g 是一个已知的函数。我们需要

找到 Z 的概率密度函数
$$f_Z(z)$$
具体步骤如下：

1. 计算 Z的累积分布函数
   $$F_Z(z)$$
   ：
   $$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z)$$

   这可以通过对联合分布函数进行积分得到：
   $$F_Z(z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy$$

2. 求导得到概率密度函数
   $$f_Z(z)$$
   ：
   $$f_Z(z)=\frac{d}{dz}{F}_Z(z)$$

对于某些特定的函数 g(X,Y)，可以直接求出 Z 的概率密度函数。例如，如果 g(X,Y)=X+Y，则可以通过以下步骤求出 Z 的概率密度函数：

1. 确定 Z 的范围：

   Z=X+Y
   确定 Z 的可能取值范围。

2. 计算 Z的概率密度函数：
   $$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$$

   这称为卷积公式。

例子

假设 (X,Y) 的联合概率密度函数为：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$
求Z*=*X+Y的分布

解：

确定Z的范围：
$$0\le Z\le 2$$
先求分布函数：
$$F_Z(z)=P(Z\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy$$
当z<0时，因为x、y都大于0，所以事件不可能发生
$$F_Z(z)=0$$
当0≤z≤1时，画出图形：

根据图形可知
$$0\le x\le z,0\le y\le z-x$$

$$F_Z(z)=P(Z\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy={\int }_0^{z}dx{\int }_0^{z-x}2dy=2{\int }_0^z(z-x)dx=2(zx-\frac{1}{2}{x}^2){|}_0^z=z^2$$

当1≤z≤2时，画出图形：

根据图形可知：

所求面积=1-右上角三角形面积S
$$S=\frac{(2-z{)}^2}{2}$$

$$F_Z(z)=P(Z\le z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy=2(1-\frac{(2-z{)}^2}{2})=2-(2-z{)}^2$$

当z>2时，超出x、y的取值范围，不可能发生
$$F_Z(z)=0$$
所以：
$$F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}{z}^2,& 0\le z\le 1\\ 1-\frac{(2-z{)}^2}{2},& 1\le z\le 2\\ 0,& 其它\end{array}$$
求导：
$$f_Z(z)=F_z^{\prime }(z)=\{\begin{array}{ll}2z,& 0\le z\le 1\\ 4-2z,& 1\le z\le 2\\ 0,& 其它\end{array}$$