最优美公式-欧拉公式，轻松理解版

Alan Becker创作的火柴人大战数学的打斗视频，风靡一时，并在B站荣耀斩获了“金知奖”。下面是网友对此视频的部分评价截图。

视频原址：火柴人 vs 数学，后续又一口气看完了“火柴人vs 几何”与“火柴人vs 物理”，通过火柴人的方式表现还是停新鲜的，作者别具一格。

这些视频里都或深或浅的穿插着一些数学与物理的知识，总是想写些什么，但都是被这样或那样的原因给耽搁了。今天下定决心试着解读一下其中的欧拉公式。

贴一个“百度百科”的评价：它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i，自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

下面准备从三个方面入手，尽我所能的做到通俗易懂的讲述欧拉公式是怎么来的？它又有什么用？

1、小e的前世今生

小e是一个数学中非常重要的常数，它与自然对数的底数相同，约为2.718。它最初由数学家约翰·纳皮尔在研究复利时发现，可以表示连续复利的极限情况。

小e与圆周率π均为超越数，它们的性质独特且重要。对于π，我们可以通过古老的割圆术来直观地理解其含义。π(C = πd→π = C/d)表示任意一个圆的周长与其直径之间的比率，这是所有圆共有的一个基本比率。

小e则代表了所有持续增长过程所共有的基本增长率。​阮一峰翻译的文章《数学常数e的含义》说的很好，这里摘录如下：

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：growth = 2x(x表示天数)。

这个式子可以改写成：growth = (1+100%)*x 其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。

根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%，列出数学表达式：

​

亦即：

​

即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至：

​

即最后细胞数扩大为原数量的2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间（24小时）最多可以得到多少个细胞呢？答案是：

​

当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.718……倍。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

所以小e的极限形式的数学表达式如下图：

关于小e更为详尽的内容，譬如著名的72定律、斐波那契螺线等，请移步：数学-e的自然之美。

​2、为什么i² = -1

引用一下以前的一个知乎回答，数学中的数先是从一维数轴开始。

图2.1 一维数轴

因电路的阻抗计算中若幅值与相角同时用一个式子表示，也就是说数已经移动至二维空间，或者说只能在二维空间中才能很好的表示这个数。

比如下图中的C表示为-2+5i，它的模值为即阻抗的幅值，OB与x轴的夹角θ即阻抗的相角。

在电路的计算中用 j 来代替 i，因为 i 在电路中表示电流，以示区分。

图2.2 二维数轴

复数最重要的性质就是是旋转量，即两个复数积的辐角等于各自辐角的和。

-1 位于实轴负半轴，辐角为 π(180°)。开平方，按照前面说的辐角的性质，即是辐角减半，变为 π/2(90°)，也即虚轴正半轴上的 i 的位置。

或者反过来看，一个复数乘以 i，就相当于逆时针旋转 π/2(90°)。那么 i² = 1*i*i，就是把 1 旋转了 2次π/2(90°)，正好落在 -1 上。

3、欧拉公式的由来

函数​的n阶麦克劳林公式分别如下：

​这样我们就可以手算的值了，或许C语言标准函数库的三角函数就是这样计算的，个人臆测哈！但实际上我们是可以这么操作的，取得近似值，达到工程的要求即可。

#include "math.h"

其中的麦克劳林公式和泰勒Taylor公式相关，有一个原函数（公式） ，再造一个图像与原函数图像相似的多项式函数（公式） ，为了保证相似，只需要保证两个函数在某一点的初始值相等、1阶导数相等、2阶导数相等、……，并且n阶导数都相等。

这里我们令​，另外前面说过，从而得到：

简化一下：

​当时，即可得到最令人着迷的最优美的上帝创造的公式——欧拉公式：

式①的共轭复数为：

利用三角函数的性质（数学-三角函数及其图像），三角函数 cos(θ) 和 sin(θ) 具有偶函数和奇函数的性质，那么、。

将这些性质代入式①的共轭复数，我们得到：

联立式①与式②，可以得到下面两个变换的式子：

4、欧拉公式的用途

那么这么优美的公式又有啥用途呢？

1）“信号与系统”在频域分析和信号处理中就需要用到，用它将信号从时域转换到频域，或者从频域转换到时域。

2）在交流电路分析中，欧拉公式用于将正弦电流和电压表示为复数形式，从而简化了电路的分析和计算。

3）在量子力学中，欧拉公式有助于理解和计算波函数，网上看来的。

欧拉公式在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用，它是连接实数与复数、三角函数与指数函数的重要桥梁。

5、欧拉的生平

欧拉晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，下面摘录自“百度百科”：

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

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