矩阵等价、向量组等价、线性方程组同解与公共解的关系
矩阵等价
矩阵 A 、 B 等价 ⇔ 两矩阵秩相等 R ( A ) = R ( B ) ⇔ 每个矩阵的行秩等于列秩,两个矩阵的行秩与列秩分别相等 ⇔ 若行满秩则列向量组等价 ⇔ 若列满秩则行向量组等价 \begin{align} 矩阵A、B等价\\ &\Leftrightarrow 两矩阵秩相等R(A)=R(B)\\ &\Leftrightarrow 每个矩阵的行秩等于列秩,两个矩阵的行秩与列秩分别相等\\ &\Leftrightarrow 若行满秩则列向量组等价\\ &\Leftrightarrow 若列满秩则行向量组等价 \end{align} 矩阵A、B等价⇔两矩阵秩相等R(A)=R(B)⇔每个矩阵的行秩等于列秩,两个矩阵的行秩与列秩分别相等⇔若行满秩则列向量组等价⇔若列满秩则行向量组等价
向量组等价
向量组 A 、 B 等价 ⇔ A 与 B 可相互线性表示出(两个向量组不同秩一定不等价,同秩也不一定等价) ⇔ 行向量组等价即两个行向量组可以通过行初等变换相互转换 ⇔ 列向量组等价即两个列向量组可以通过列初等变换相互转换 \begin{align} 向量组A、B等价\\ &\Leftrightarrow A与B可相互线性表示出(两个向量组不同秩一定不等价,同秩也不一定等价)\\ &\Leftrightarrow 行向量组等价即两个行向量组可以通过行初等变换相互转换\\ &\Leftrightarrow 列向量组等价即两个列向量组可以通过列初等变换相互转换 \end{align} 向量组A、B等价⇔A与B可相互线性表示出(两个向量组不同秩一定不等价,同秩也不一定等价)⇔行向量组等价即两个行向量组可以通过行初等变换相互转换⇔列向量组等价即两个列向量组可以通过列初等变换相互转换
线性方程组公共解
线性方程组 A x = ξ 与 B x = η 的公共解即 { A x = ξ B x = η 的解 线性方程组Ax=\xi 与Bx=\eta的公共解即\begin{cases} Ax=\xi\\ Bx=\eta\\ \end{cases}的解 线性方程组Ax=ξ与Bx=η的公共解即{Ax=ξBx=η的解
线性方程组同解
线性方程组 A x = ξ 与 B x = η 同解 ⇔ ( A , ξ ) 可通过行初等变换变为 ( B , η ) ⇔ A 与 B 行向量组等价 ⇒ A 与 B 行等秩 ⇒ A 与 B 等价 \begin{align} 线性方程组Ax=\xi 与Bx=\eta同解\\ &\Leftrightarrow (A,\xi)可通过行初等变换变为(B,\eta)\\ &\Leftrightarrow A与B行向量组等价\\ &\Rightarrow A与B行等秩\\ &\Rightarrow A与B等价\end{align} 线性方程组Ax=ξ与Bx=η同解⇔(A,ξ)可通过行初等变换变为(B,η)⇔A与B行向量组等价⇒A与B行等秩⇒A与B等价
A T A x = 0 与 A x = 0 同解 A k x = 0 与 A x = 0 同解 A n + 1 x = 0 与 A n x = 0 同解 \begin{align} &A^TAx=0与Ax=0同解\\ &A^kx=0与Ax=0同解\\ &A^{n+1}x=0与A^nx=0同解\end{align} ATAx=0与Ax=0同解Akx=0与Ax=0同解An+1x=0与Anx=0同解
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