矩阵等价、向量组等价、线性方程组同解与公共解的关系

矩阵等价

$$\begin{array}{rl}矩阵A、B等价& \\ & \iff 两矩阵秩相等R(A)=R(B)\\ & \iff 每个矩阵的行秩等于列秩，两个矩阵的行秩与列秩分别相等\\ & \iff 若行满秩则列向量组等价\\ & \iff 若列满秩则行向量组等价\end{array}$$

向量组等价

$$\begin{array}{rl}向量组A、B等价& \\ & \iff A与B可相互线性表示出（两个向量组不同秩一定不等价，同秩也不一定等价）\\ & \iff 行向量组等价即两个行向量组可以通过行初等变换相互转换\\ & \iff 列向量组等价即两个列向量组可以通过列初等变换相互转换\end{array}$$

线性方程组公共解

$$线性方程组Ax=\xi 与Bx=\eta 的公共解即\{\begin{array}{l}Ax=\xi \\ Bx=\eta \end{array}的解$$

线性方程组同解

$$\begin{array}{rl}线性方程组Ax=\xi 与Bx=\eta 同解& \\ & \iff (A,\xi )可通过行初等变换变为(B,\eta )\\ & \iff A与B行向量组等价\\ & \Rightarrow A与B行等秩\\ & \Rightarrow A与B等价\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A^{T}Ax=0与Ax=0同解\\ & A^{k}x=0与Ax=0同解\\ & A^{n+1}x=0与A^{n}x=0同解\end{array}$$