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10.14学习日志

news 2026/3/28 8:39:00

一.矩阵

接上篇

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：

$(A^{*})_{ij}=C^{ji}=(−1)^{i+j}M_{ji}$

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

性质：

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$

证明：

$\begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E$

性质2：

$|A^{*}|=|A|^{n-1}$

证明：

$|AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n}$

所以

$|A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0$

得出

$|A|=0 或 |A^{*}|=|A|^{n-1}$

如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以

$|A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1}$

所以等式成立。

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作

$A^{−1}$

逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：

$AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E$

则：

$B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2}$

所以可逆矩阵唯一。

性质：

1.n阶方阵A可逆的充要条件为

$|A|\neq 0$

且当A可逆时，

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$

证明：

充分性：

因为

$|A|\neq 0$

则

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E$

所以A可逆，并且

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}$

必要性：

因为A可逆，则

$AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1$

所以

$|A|\neq 0$

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

如：矩阵第二行和第三行交换

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$
某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

如：第二行乘以非零整数k

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

如：矩阵第一行乘以-4加到第二行

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$

初等列变换

交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？

行阶梯形矩阵不是唯一的，上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵

如果只做初等行变换，行简化阶梯形矩阵是唯一的，因为不能再简化了

二.向量

1.定义

向量可以用多种方式定义，以下是几种常见的定义：

几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。

例如，一个 n 维列向量可以表示为：

$v=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}$

一个 n 维行向量可以表示为：

$v=\begin{pmatrix}v_{1} & v_{2} & \ldots & v_{n}\end{pmatrix}$

其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。

行向量和列向量再本质上没有区别。

向量的表示

向量可以用多种方式表示，以下是几种常见的表示方法：

几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 轴和 yy 轴上的分量。

2. 向量的运算

向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。

向量加法

向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的加法为：

$u+v=\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\⋮\\u_{n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\⋮\\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}$

向量数乘

向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。例如，一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为：

$kv=k\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kv_{1}\\kv_{2}\\⋮\\kv_{n}\end{pmatrix}$

向量点积

向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的点积为：

$u⋅v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+⋯+u_{n}v_{n}$

3.矩阵的特征值和特征向量

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：

$Av=λv$

那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

注：λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。

将定义中的等式移项，得到：

$(A-λE)v=0$

由于v是非零列向量，相当于求上述方程的非零解，由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知：

$\begin{vmatrix}A-λE\end{vmatrix}=0$

说明：(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程

结论：

1.λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。

根据定义：

$Av=λv$

等式两边同乘以c

$cAv=cλv=>A(cv)=λ(cv)$

所以cv也是λ的一个特征向量。

4.向量的模

定义

向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：

$||v||=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+⋯+v_{n}^{2}}=\sqrt{v\cdot v}$

几何解释

在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)

性质

非负性：∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
齐次性：对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
三角不等式：对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

5.向量的内积

定义

对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：

$a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+⋯+a_{n}b_{n}$

几何解释

在几何上，内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说，如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：

$a\cdot b=||a||||b||cos⁡(θ)$

其中：

∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模（长度）。
cos⁡(θ)是夹角 θ 的余弦值。

性质

交换律：a⋅b=b⋅a
分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
数乘结合律：(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)(，其中 k 是标量。
正定性：a⋅a≥0，并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。

向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式，当cos⁡(θ)=1时，表示两个向量重合；当cos⁡(θ)=0时，表示两个向量垂直。

如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像，两个向量的cos⁡(θ)越接近1，表示这两个文本内容越相似，cos⁡(θ)越接近0，表示这两个文本内容越不相似。

一.矩阵

11.伴随矩阵

12.逆矩阵

13.初等变换

14.矩阵的标准形

14.1 行阶梯形矩阵

14.2 简化行阶梯形矩阵

二.向量

1.定义

2. 向量的运算

3.矩阵的特征值和特征向量

4.向量的模

5.向量的内积

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