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数据结构~AVL树

news 2025/7/9 5:36:33

文章目录

- 一、AVL树的概念
- 二、AVL树的定义
- 三、AVL树的插入
- 四、AVL树的平衡
- 五、AVL树的验证
- 六、AVL树的删除
- 七、完整代码
- 八、总结

一、AVL树的概念

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL树实现这里引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。
为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢 0不是更好的平衡吗？画画图分析发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0
AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

二、AVL树的定义

定义了一个 AVL 树的数据结构。它包含了一个结构体AVLTreeNode和一个AVLTree。

AVLTreeNode结构体：

成员变量：
_kv：存储键值对的数据成员，类型为pair<K, V>。
_left、_right和_parent：分别指向左子树、右子树和父节点的指针。
_bf：表示平衡因子，用于判断树的平衡性。
构造函数：接受一个pair<K, V>类型的参数，用于初始化_kv成员，并将其他指针成员初始化为nullptr，平衡因子初始化为 0。

AVLTree类：

成员变量：
_root：指向 AVL 树的根节点的指针。
公有接口：代码中省略了公有接口的具体实现，但通常会包含插入、删除、查找等操作的函数声明。
私有成员：仅包含根节点指针_root。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node* _root = nullptr;
};

pair
pair在C++map里面讲过:map
pair可以将两个数据组成一组元素，因此对于key/value模型这种需要用到两个数据为一组的元素时就可以使用，内部的成员变量为first和second，其主要使用方法为：

pair<T1, T2> p1(v1, v2); //输入两个数据创建pair类型变量
make_pair(v1, v2);       //输入两个数据通过函数创建pair类型变量
p1.first                 //访问p1的第一个数据
p1.second                //访问p1的第二个数据

三、AVL树的插入

AVL树插入一个值的过程

插入一个值按⼆叉搜索树规则进行插入。
新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况下面再详细分析。
更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上⼀层，所以插入结束。

平衡因子更新

平衡因子=右子树高度-左子树高度
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子- -
parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件

更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响arent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

最坏更新到根停止
在这里插入图片描述
插入结点及更新平衡因子的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}}else{assert(false);}}return true;
}

四、AVL树的平衡

旋转
旋转的原则
1.保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了讲解，实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的规则即可。
右单旋

下面图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种
在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插入结束了。

右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent == nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = parent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

左单旋
本图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。
• 在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核心步骤，因为10<b⼦树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
在这里插入图片描述

左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = parent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

左右双旋
通过图情况1和图情况2可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行⼀个左单旋，以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
在这里插入图片描述

图情况1和图情况2分别为左右双旋中hc = =0和h= =1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1,旋转后8和5平衡因子为0,10平衡因子为1。
场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1,旋转后8和10平衡因⼦为0,5平衡因子为-1。
场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
在这里插入图片描述
左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

右左双旋
跟左右双旋类似，下面将a/b/c⼦树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为12和左⼦树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通
过观察12的平衡因子不同，这里要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因子为-1。
• 场景3：h= =0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。
在这里插入图片描述
右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

五、AVL树的验证

AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}int Heightleft = _Height(root->_left);int Heightright = _Height(root->_right);return Heightleft > Heightright ? Heightleft + 1 : Heightright + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << "平衡因子异常:高度异常" << root->_kv.first << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << "平衡因子异常:高度异常" << root->_kv.first << endl;return false;}return  _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

_Height函数用于计算以给定节点为根的子树的高度。如果节点为空指针，则返回 0。否则，递归地计算左子树和右子树的高度，然后选择较大的子树高度加 1 作为当前子树的高度。
_IsBalanceTree函数用于判断以给定节点为根的子树是否为平衡树。如果节点为空指针，则返回true，表示空树是平衡树。对于非空节点，首先计算左子树和右子树的高度，然后计算它们的高度差。如果高度差大于等于 2，则说明该节点的子树不平衡，输出错误信息并返回false。接着，检查当前节点的平衡因子是否与计算得到的高度差一致，如果不一致，也输出错误信息并返回false。最后，递归地判断左子树和右子树是否为平衡树，只有当左右子树都为平衡树时，才返回true。

六、AVL树的删除

首先调用Find函数找到要删除的节点delNode。如果找不到指定的键值，则直接返回。
确定替换节点replaceNode：
如果delNode的左子树或右子树为空，那么delNode本身就是替换节点。
如果delNode有两个子树，那么找到delNode的后继节点作为替换节点。
确定替换节点的子节点child：
如果replaceNode的左子树不为空，那么child就是replaceNode的左子树。
否则，child就是replaceNode的右子树。
更新child的父指针：
如果child不为空，将其父指针设置为replaceNode的父节点。
更新树的结构：
如果replaceNode是根节点，那么将root指向child。
如果replaceNode是其父节点的左子树，那么将其父节点的左子树设置为child。
否则，将其父节点的右子树设置为child。
如果replaceNode不等于delNode，则将delNode的值更新为replaceNode的值。
从树中删除replaceNode，并释放其内存。
从replaceNode的父节点开始，向上遍历树，更新每个节点的平衡因子，并进行必要的旋转操作来保持树的平衡：
如果当前节点的平衡因子为 1 或 -1，继续向上遍历。
如果平衡因子为 0，结束遍历。
如果平衡因子为 2 或 -2，根据子树的情况进行相应的旋转操作。

void Remove(const K& key)
{Node* delNode = Find(key);if (delNode == nullptr)return;Node* replaceNode = nullptr;if (delNode->_left == nullptr || delNode->_right == nullptr)replaceNode = delNode;else{replaceNode = GetSuccessor(delNode);}Node* child = nullptr;if (replaceNode->_left != nullptr)child = replaceNode->_left;elsechild = replaceNode->_right;if (child != nullptr)child->_parent = replaceNode->_parent;if (replaceNode->_parent == nullptr)_root = child;else if (replaceNode == replaceNode->_parent->_left)replaceNode->_parent->_left = child;elsereplaceNode->_parent->_right = child;if (replaceNode != delNode)delNode->_kv = replaceNode->_kv;Node* parent = replaceNode->_parent;while (parent){if (replaceNode == parent->_left)parent->_bf++;elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){replaceNode = parent;parent = replaceNode->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else{if (parent->_bf == 2){if (parent->_left->_bf >= 0){RotateL(parent);}else{RotateLR(parent);}}else{if (parent->_right->_bf <= 0){RotateR(parent);}else{RotateRL(parent);}}if (parent->_parent == nullptr)_root = parent;elseparent = parent->_parent;}}delete replaceNode;
}

实现了从 AVL 树中删除指定键值的节点的功能。它通过一系列的操作来保持 AVL 树的平衡性质，包括找到要删除的节点、确定替换节点、调整树的结构以及更新平衡因子和进行必要的旋转操作。
注意事项
在进行旋转操作时，需要正确地更新节点的指针和平衡因子，以确保树的结构和平衡性质得到正确维护。

七、完整代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parent = parent;while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}}else{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent == nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = parent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = parent;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}void Remove(const K& key){Node* delNode = Find(key);if (delNode == nullptr)return;Node* replaceNode = nullptr;if (delNode->_left == nullptr || delNode->_right == nullptr)replaceNode = delNode;else{replaceNode = GetSuccessor(delNode);}Node* child = nullptr;if (replaceNode->_left != nullptr)child = replaceNode->_left;elsechild = replaceNode->_right;if (child != nullptr)child->_parent = replaceNode->_parent;if (replaceNode->_parent == nullptr)_root = child;else if (replaceNode == replaceNode->_parent->_left)replaceNode->_parent->_left = child;elsereplaceNode->_parent->_right = child;if (replaceNode != delNode)delNode->_kv = replaceNode->_kv;Node* parent = replaceNode->_parent;while (parent){if (replaceNode == parent->_left)parent->_bf++;elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){replaceNode = parent;parent = replaceNode->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else{if (parent->_bf == 2){if (parent->_left->_bf >= 0){RotateL(parent);}else{RotateLR(parent);}}else{if (parent->_right->_bf <= 0){RotateR(parent);}else{RotateRL(parent);}}if (parent->_parent == nullptr)_root = parent;elseparent = parent->_parent;}}delete replaceNode;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int Heightleft = _Height(root->_left);int Heightright = _Height(root->_right);return Heightleft > Heightright ? Heightleft + 1 : Heightright + 1;}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(_root->_left) + _Size(_root->_right) + 1;}bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << "平衡因子异常:高度异常" << root->_kv.first << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << "平衡因子异常:高度异常" << root->_kv.first << endl;return false;}return  _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

八、总结

时间复杂度

搜索、插入和删除操作
在 AVL 树中，搜索、插入和删除操作的时间复杂度均为 O (log n)，其中 n 为树中节点的个数。这是因为 AVL 树始终保持平衡，树的高度始终保持在 O (log n) 级别，相比于普通二叉搜索树（在最坏情况下可能退化为链表，时间复杂度为 O (n)）具有更好的性能。

应用场景

数据库索引
AVL 树可用于数据库中的索引结构，能够快速地查找、插入和删除数据记录，提高数据库操作的效率。
有序数据存储与检索
在需要频繁进行查找、插入和删除操作的有序数据集合中，AVL 树是一种高效的数据结构选择，如某些文件系统中用于管理文件索引等。

AVL 树是一种自平衡二叉搜索树（Binary Search Tree）。它以发明者 Adelson - Velsky 和 Landis 的名字命名。
对于 AVL 树中的任意节点，其左子树和右子树的高度差(平衡因子)的绝对值不超过1。
二叉搜索树的学习：数据结构~二叉搜索树