leetcode48:旋转矩阵

题目：

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

提示：

• n == matrix.length == matrix[i].length

• 1 <= n <= 20

• -1000 <= matrix[i][j] <= 1000

步骤 1：问题分析

题目要求：

我们需要将一个 n × n 的二维矩阵（图像）顺时针旋转 90 度，且要求在原地进行操作。这意味着我们需要在输入矩阵本身上修改，不允许借助额外的矩阵存储。

输入输出条件：

• 输入：一个二维矩阵 matrix，大小为 n × n，其中 1 <= n <= 20，且矩阵中每个元素的值在 -1000 到 1000 之间。
• 输出：直接修改 matrix，使其成为顺时针旋转 90 度的结果。

约束与边界条件：

1. 矩阵的大小：n 的范围较小（最大为 20），因此在时间复杂度和空间复杂度上我们有一定的灵活性，可以考虑在 $O(n^2)$ 以内的算法。
2. 原地旋转：必须直接修改 matrix，不能借助另一个矩阵存储中间状态。

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步骤 2：解题思路

目标描述：

顺时针旋转 90 度后的矩阵元素 (i, j) 会移动到新的位置 (j, n - i - 1)。为实现这一转换，我们可以分解成以下两步：

1. 矩阵转置：即将矩阵的行转换为列。此时 matrix[i][j] 变为 matrix[j][i]。
2. 水平翻转：将转置后的每一行元素反转，从而完成 90 度旋转。

具体步骤解析：

1. 矩阵转置：
   • 交换矩阵中 (i, j) 和 (j, i) 位置的元素。
   • 只需要遍历矩阵的上三角区域（即满足 i < j 的位置），这样可以避免重复交换。
2. 水平翻转：
   • 遍历矩阵的每一行，将每一行的元素进行对称交换（即 matrix[i][j] 和 matrix[i][n - j - 1] 互换）。

时间复杂度和空间复杂度：

• 时间复杂度：$O(n^2)$，因为我们需要遍历矩阵的所有元素。
• 空间复杂度：$O(1)$，因为是原地修改，没有使用额外的空间。

这种方法在效率和空间使用上是最优的。

还有一种方法那就是利用螺旋矩阵提取出来的元素,然后在换一个边界循环填充回去.

法一:

法二:

步骤 4：算法的启发与优化

法一展示了矩阵变换的分解思路，即通过分步操作（转置和水平翻转）来实现整体的旋转操作。这种方法避免了重复操作和多余的空间开销。针对二维矩阵的其他旋转操作（例如逆时针 90 度），可以类比这种分解方法，通过组合不同的操作（如转置和垂直翻转）来实现。

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步骤 5：实际应用

应用场景

图像和视频处理领域经常需要对二维图像矩阵进行旋转、翻转等变换。顺时针旋转 90 度在图像旋转、照片编辑、游戏引擎开发、地图视角切换等方面都十分常见。

示例应用

在一个地理信息系统（GIS）中，地图显示需要根据用户的设备方位调整视角（比如将北方置于屏幕顶部）。假设地图数据以二维矩阵的形式存储，那么可以在后台使用该算法快速旋转视图，实现顺时针调整或适应不同的用户视角。具体实现时可以先根据角度选择旋转操作，再在应用中显示旋转后的数据，提升用户的交互体验。