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10.12Python数学基础-矩阵(上)

矩阵

1.矩阵定义

1.1 矩阵的定义

矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示,例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为:

A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a1na21am1a12a22am2a1na2namn
其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的维度

矩阵的维度由它的行数和列数决定,记作 m×n,其中 m是行数,n 是列数,m不一定与n相等。例如,一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix} A= 135246

1.3 矩阵和行列式的区别

矩阵行列式
符号()或[]| |
形状方阵或非方阵方阵
本质数表
属性A|A|是A诸多属性中的一种

2 同型矩阵

设矩阵 AA 和 BB 分别为:
A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B = ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix} A= a1na21am1a12a22am2a1na2namn ,B= b1nb21bm1b12b22bm2b1nb2nbmn
如果 A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n 矩阵,那么A 和 B 就是同型矩阵。

矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n矩阵,并且对于所有 i 和 j,都有 aij=bij,那么我们称矩阵 A 和 B 相等,记作 A=B。

矩阵相等的条件

  1. 维度相同:两个矩阵的行数和列数必须相同。
  2. 对应元素相等:所有对应位置的元素必须相等。

例子

考虑以下两个矩阵:
A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} A=(1324),B=(1324)
这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),并且所有对应位置的元素都相等,因此 A 和 B 相等,即 A=B。

再考虑以下两个矩阵:
C = ( 1 2 3 4 ) , D = ( 1 2 3 5 ) C=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix} C=(1324),D=(1325)
这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),但 C 和 D 在第 2 行第 2 列的元素不相等(4≠5),因此 C 和 D 不相等

3 特殊类型的矩阵

1.3.1 方阵

一个 n×n 的方阵 A 可以表示为:矩阵的行数=列数
A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} A= a1na21an1a12a22an2a1na2nann
其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

方阵有主对角线和副对角线,非方阵没有主对角线和副对角线。

1.3.2 特殊的方阵

1.3.2.1 单位矩阵

主对角线上的元素都是 1,其余元素都是 0 的方阵,记作 I 或 E。例如,3 阶单位矩阵为:
E = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} E= 100010001

1.3.2.2 对角矩阵

主对角线上的元素可以是任意值,其余元素都是 0 的方阵。例如:
A = ( a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ) A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix} A= a11000a22000a33

1.3.2.3 上三角矩阵

主对角线及其上方的元素可以是任意值,主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如:
A = ( a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ) A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix} A= a1100a12a220a13a23a33

1.3.2.4 下三角矩阵

主对角线及其下方的元素可以是任意值,主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如:
A = ( a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ) A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} A= a11a21a310a22a3200a33

1.3.2 零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为:
A = ( 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ 0 0 … 0 ) A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} A= 000000000
其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定,记作 m×n。

思考:两个零矩阵相等?

错误,两个同型的零矩阵相等。

1.3.3 行矩阵

行矩阵(Row Matrix),也称为行向量(Row Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一行,但可以有多列。具体来说,一个

1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n,其中 n 是列数。

一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为:
R = ( r 11 r 12 … r 1 n ) R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \ldots & r_{1n} \end{pmatrix} R=(r11r12r1n)
其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。

1.3.4 列矩阵

列矩阵(Column Matrix),也称为列向量(Column Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一列,但可以有多行。具体来

说,一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1,其中 m 是行数。

一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为:
C = ( r 11 r 12 ⋮ r 1 n ) C=\begin{pmatrix} r_{11} \\ r_{12} \\ \vdots \\ r_{1n} \end{pmatrix} C= r11r12r1n
其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。

4.矩阵的加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是

m×n矩阵,那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和,即 cij=aij+bij。

设矩阵 AA 和 BB 分别为:
A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B = ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix} A= a1na21am1a12a22am2a1na2namn ,B= b1nb21bm1b12b22bm2b1nb2nbmn
如果 A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n 矩阵,那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵,即:
C = ( c 1 n c 12 … c 1 n c 21 c 22 … c 2 n ⋮ c m 1 c m 2 … c m n ) C=\begin{pmatrix} c_{1n} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix} C= c1nc21cm1c12c22cm2c1nc2ncmn
其中:
c i j = a i j + b i j c_{ij}=a_{ij} + b_{ij} cij=aij+bij
矩阵加法的性质

  1. 交换律:矩阵加法满足交换律,即 A+B=B+A。
  2. 结合律:矩阵加法满足结合律,即 (A+B)+C=A+(B+C)。
  3. 零矩阵:零矩阵 O 是矩阵加法的单位元,即对于任何矩阵 A,有 A+O=A。
  4. 负矩阵:对于任何矩阵 A,存在一个负矩阵 −A,使得 A+(−A)=O。

例子

考虑以下两个矩阵:
A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 5 6 7 8 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix} A=(1324),B=(5768)
这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),因此可以进行加法运算:
A + B = ( 1 2 3 4 ) + ( 5 6 7 8 ) = ( 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8 ) = ( 6 8 10 12 ) A + B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12\end{pmatrix} A+B=(1324)+(5768)=(1+53+72+64+8)=(610812)

5.矩阵的减法

矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是

m×n 矩阵,那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差,即
c i j = a i j − b i j c_{ij}=a_{ij}−b_{ij} cij=aijbij
设矩阵 AA 和 BB 分别为:
A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) , B = ( b 1 n b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ b m 1 b m 2 … b m n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix} A= a1na21am1a12a22am2a1na2namn ,B= b1nb21bm1b12b22bm2b1nb2nbmn
如果 A和 B 的维度相同,即 A 和 B都是 m×n 矩阵,那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵,其中:
C = ( c 1 n c 12 … c 1 n c 21 c 22 … c 2 n ⋮ c m 1 c m 2 … c m n ) C=\begin{pmatrix} c_{1n} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix} C= c1nc21cm1c12c22cm2c1nc2ncmn
其中:
c i j = a i j − b i j c_{ij}=a_{ij} - b_{ij} cij=aijbij
矩阵减法的性质

  1. 反交换律:矩阵减法不满足交换律,即 A − B ≠ B − A。
  2. 结合律:矩阵减法满足结合律,即 (A − B) − C = A − (B + C)。
  3. 零矩阵:零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色,即对于任何矩阵 A,有 A − O = A。

例子

1.考虑以下两个矩阵:
A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 5 6 7 8 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix} A=(1324),B=(5768)
这两个矩阵的维度相同(都是 2×2 矩阵),因此可以进行减法运算:
A − B = ( 1 2 3 4 ) − ( 5 6 7 8 ) = ( 1 − 5 2 − 6 3 − 7 4 − 8 ) = ( − 4 − 4 − 4 − 4 ) A - B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 - 5 & 2 - 6 \\ 3 - 7 & 4 - 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4\end{pmatrix} AB=(1324)(5768)=(15372648)=(4444)
2.考虑以下两个矩阵:
A = ( 2 1 0 3 2 1 ) , B = ( 1 5 − 1 0 4 2 ) A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 2\end{pmatrix} A=(231201),B=(105412)
已知 A + X = B,求X

解:
X = B − A = ( 1 5 − 1 0 4 2 ) − ( 2 1 0 3 1 1 ) = ( 1 − 2 5 − 1 − 1 − 0 0 − 3 4 − 2 2 − 1 ) = ( − 1 4 − 1 − 3 2 1 ) X = B - A =\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-2 & 5-1 & -1 - 0 \\ 0-3 & 4-2 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 4 & -1 \\ -3 & 2 & 1\end{pmatrix} X=BA=(105412)(231101)=(120351421021)=(134211)

6.矩阵的数乘

矩阵的数乘(Scalar Multiplication)是指一个矩阵与一个标量(即一个实数或复数)相乘,结果是一个新的矩阵。具体来说,如果A 是

一个 m×n 的矩阵,k 是一个标量,那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵,其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为:
A = ( a 1 n a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a1na21am1a12a22am2a1na2namn
如果 k 是一个标量,那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵,即:
k A = ( k a 1 n k a 12 … k a 1 n k a 21 k a 22 … k a 2 n ⋮ k a m 1 k a m 2 … k a m n ) kA=\begin{pmatrix} ka_{1n} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \ldots & ka_{2n} \\ & & \vdots & \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \ldots & ka_{mn} \end{pmatrix} kA= ka1nka21kam1ka12ka22kam2ka1nka2nkamn
其中
( k A ) i j = k ⋅ a i j (kA)_{ij}=k⋅a_{ij} (kA)ij=kaij
矩阵提公因子:矩阵的所有元素均有公因子k,则k向外提一次。

行列式提公因子:行列式的某一行有公因子k,则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

  1. 结合律:矩阵数乘满足结合律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
  2. 分配律:矩阵数乘满足分配律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (k+l)A = kA + lA。
  3. 标量乘法与矩阵加法的分配律:对于任何标量 k,以及任何矩阵 A 和 B,有 k(A+B) = kA + kB。
  4. 单位标量:标量 1 是矩阵数乘的单位元,即对于任何矩阵 A,有 1A=A。
  5. 零标量:标量 0 是矩阵数乘的零元,即对于任何矩阵 A,有 0A=O,其中 O 是零矩阵。

例子

1.考虑以下矩阵:
A = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} A=(1324)
这是一个 2×2 的矩阵。我们计算 2A:
2 A = 2 ⋅ ( 1 2 3 4 ) = ( 1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 4 ⋅ 2 ) = ( 2 4 6 8 ) 2A=2⋅\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1⋅2 & 2⋅2 \\ 3⋅2 & 4⋅2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8\end{pmatrix} 2A=2(1324)=(12322242)=(2648)
2.有以下矩阵:
A = ( x 0 6 y ) , B = ( 2 1 z − 3 ) , C = ( 0 2 − 1 5 ) A=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ z & -3\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix} A=(x60y),B=(2z13),C=(0125)
已知:A + 2B = C,求x、y、z的值

解:

A + 2B = C带入矩阵为:
( x 0 6 y ) + 2 ( 1 1 z − 3 ) = ( 0 2 − 1 5 ) \begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ z & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix} (x60y)+2(1z13)=(0125)
即:
, ( x 0 6 y ) + ( 4 2 2 z − 6 ) = ( 0 2 − 1 5 ) ,\\ \begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2z & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix} ,(x60y)+(42z26)=(0125)
得出方程:
{ x + 4 = 0 6 + 2 z = − 1 y − 6 = 5 \begin{cases}x+4=0\\ 6+2z=-1\\ y-6=5\end{cases} x+4=06+2z=1y6=5
得出:x = -4,y=11,z=-7/2

7.矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算,它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是:矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说,如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵(即 m

行 n 列),矩阵 B 是 n×p 的矩阵(即 n 行 p 列),那么它们可以相乘,并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩

阵A的行数,矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等,取两端)。

矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵,B 是一个 n×p 的矩阵,那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵,其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为:
c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j c_{ij}=\sum _{k=1}^n a_{ik}b_{kj} cij=k=1naikbkj
其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素,bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

矩阵乘法的性质

  • 结合律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
  • 分配律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
  • 单位矩阵:对于任意矩阵 A,如果存在一个单位矩阵 E(维度与A 相匹配),那么 A×E=E×A=A,注意两个E的维度不一定一样。

矩阵乘法不满足的性质

  • 交换律:AXB一般不等于BXA,如矩阵A维度2x2,B维度2x3,AxB的维度=2x3,BxA则不能相乘,因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA,则矩阵A和B是同阶的方阵,并称A和B是可交换的矩阵。
  • 消去律:由AXB=AXC,不能推导出B=C
  • 由AxB=O,不能推出A=O或B=O

例子

1.假设有两个矩阵 A 和 B:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , B = ( 7 8 9 10 11 12 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10\\11 & 12 \end{pmatrix} A=(142536),B= 791181012
矩阵A的维度为2X3,B的维度为3X2,因此它们可以相乘,得到C的维度为2X2。乘积矩阵C 的元素计算如下:
C 11 = 1 × 7 + 2 × 9 + 3 × 11 = 51 C 12 = 1 × 8 + 2 × 10 + 3 × 12 = 64 C 21 = 4 × 7 + 5 × 9 + 6 × 11 = 139 C 22 = 4 × 8 + 5 × 10 + 6 × 12 = 154 C_{11} = 1\times7 + 2\times9+3\times11=51\\ C_{12} = 1\times8 + 2\times10+3\times12=64\\ C_{21} = 4\times7 + 5\times9+6\times11=139\\ C_{22} = 4\times8 + 5\times10+6\times12=154\\ C11=1×7+2×9+3×11=51C12=1×8+2×10+3×12=64C21=4×7+5×9+6×11=139C22=4×8+5×10+6×12=154
因此,乘积矩阵 C 为:
C = ( 51 64 139 154 ) C=\begin{pmatrix} 51 & 64 \\ 139 & 154\end{pmatrix} C=(5113964154)
2.假设有两个矩阵 A 和 B:
A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 0 0 2 3 ) , C = ( 0 0 4 5 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 5\end{pmatrix} A=(1000),B=(0203),C=(0405)
求AxB和AxC,并思考是否满足消去律
A × B = ( 0 0 0 0 ) A × C = ( 0 0 0 0 ) A\times B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\\ A\times C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} A×B=(0000)A×C=(0000)
从以上结果来看,AxB和AxC的结果都是矩阵O,但是B和C并不相等。

同时,AxB=O,但是A和B都不等于O。

练习:

1.由如下两个矩阵A和B:
A = ( − 1 1 2 3 0 1 ) , B = ( 1 2 0 3 − 1 1 ) A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\-1 & 1 \end{pmatrix} A=(131021),B= 101231
求AXB和BXA

解:
A × B = ( − 3 3 2 7 ) A\times B=\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 2 & 7\end{pmatrix} A×B=(3237)

B × A = ( 5 1 4 9 0 3 4 − 1 − 1 ) B \times A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \\ 9 & 0 & 3 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix} B×A= 594101431

2.计算:

2A+BxA=?

(A+B)x(A+B)=?

8.矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说,如果 A 是一个 n×n 的方阵,那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结

果。

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵,那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为:
A k = A ⋅ A ⋅ A … ⋅ A k 个 A^{k}=\dfrac{A\cdot A\cdot A \ldots \cdot A}{k个} Ak=kAAAA
其中 k 是一个正整数。

例子

假设有一个矩阵 A:
A = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} A=(1324)
我们计算 A^2 和 A^3:

计算 A^2
A 2 = ( 1 2 3 4 ) × ( 1 2 3 4 ) A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} A2=(1324)×(1324)
计算每个元素:
A 2 = ( 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 ) = ( 7 10 15 22 ) A^{2}=\begin{pmatrix}1⋅1+2⋅3 & 1⋅2+2⋅4\\3⋅1+4⋅3& 3⋅2+4⋅4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 10\\15 & 22\end{pmatrix} A2=(11+2331+4312+2432+44)=(7151022)

计算 A3A3
A 3 = A 2 × A = ( 7 10 15 22 ) × ( 1 2 3 4 ) A^{3}=A^{2}×A=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} A3=A2×A=(7151022)×(1324)
计算每个元素:
A 3 = ( 7 ⋅ 1 + 10 ⋅ 3 7 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 15 ⋅ 1 + 22 ⋅ 3 15 ⋅ 2 + 22 ⋅ 4 ) = ( 37 54 81 118 ) A^{3}=\begin{pmatrix}7⋅1+10⋅3&7⋅2+10⋅4\\15⋅1+22⋅3&15⋅2+22⋅4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}37&54\\81&118\end{pmatrix} A3=(71+103151+22372+104152+224)=(378154118)
性质

矩阵幂具有以下性质:

  • 结合律:对于任意正整数 k 和 l,
    ( A k ) l = A k l (A^{k})^{l}=A^{kl} (Ak)l=Akl

  • 分配律:对于任意正整数 k 和 l,
    ( A + B ) k ≠ A k + B k (A+B)^{k}\neq A^{k}+B^{k} (A+B)k=Ak+Bk
    (除非 AA 和 BB 是可交换的)例如A+B的平方:
    ( A + B ) 2 = A 2 + A × B + B × A + B 2 (A+B)^{2}= A^{2} + A\times B + B\times A +B^{2} (A+B)2=A2+A×B+B×A+B2
    如果A和B可交换,则AB=BA,所以
    ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 (A+B)^{2}= A^{2} + 2AB+B^{2} (A+B)2=A2+2AB+B2
    如果A和B不可交换,则AB与BA不等,则上述公式不能合并为2AB。

  • 单位矩阵:对于任意方阵A,A^0=E,其中 E 是单位矩阵。

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