什么是标准差？详解

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一、什么是标准差？

在统计学中，标准差（Standard Deviation）是用于衡量变量值围绕其平均值变化程度的指标。低标准差表示这些值通常接近平均值（也称为期望值），而高标准差则表示这些值分布在更广的范围内。标准差常用于确定哪些值是异常值，哪些不是。

标准差其实就是方差（variance）的平方根。方差是数据集中每个数值与平均值之间差异的平方的平均值，而标准差则提供了一个与原始数据相同单位的度量，便于理解数据的离散程度。

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二、公式

假设，我们有一组数据：$X=[x_1,x_2,\dots ,x_N]$，且每个值都有相同的概率，则标准差公式为：
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}$$

其中，$\mu$代表均值，公式为：
$$\mu =\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^N{x}_i$$

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三、举个例子🌰

体重总体标准差

要计算总体标准差，首先需要找出每个人体重与平均体重的差值，然后将这些差值平方，接着计算这些平方差值的平均数，最后对这个平均数开平方。以下是这5份体重数据（单位为千克）：
$$X=[50,55,50,60,50]$$

体重的均值为：$\mu =\frac{50+55+50+60+50}{5}=53$
接着，我们计算方差（Variance）:
$${\sigma }^2=\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

套入上述公式，我们可以得到：

$(50-53{)}^2=9$
$(55-53{)}^2=4$
$(50-53{)}^2=9$
$(60-53{)}^2=49$
$(50-53{)}^2=9$

$${\sigma }^2=\frac{9+4+9+49+9}{5}=16$$

最后，因为标准差等于方差的平方根，所以：
$$\sigma =\sqrt{16}=4$$

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参考

• Standard deviation by Wikipedia
• Variance by Wikipedia