矩阵的可解性：关于Ax=b的研究

上一篇文章讲解了如何求解$Ax=0$，得到$A$的零空间。

类似的，我们今天学习的是如何求解$Ax=b$，并以此加强你对线性代数中，代数与空间的理解。

---

同样的，我们举与上一次一样的例子，矩阵$A$为：

$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$

关于这个矩阵的详细分析与消元过程在上一篇文章讨论过，这里就不再赘述。

---

首先，我们将$b$增广到矩阵$A$中，得到如下矩阵：

$$\left|\begin{array}{lcccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right|$$

经消元处理，能得到如下矩阵：

$$\left|\begin{array}{lcccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2\times b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right|$$

---

在继续进行下一步操作前，让我们想一想这个问题：$Ax=b$在何时有解？

观察消元过后的第三行，不难发现，$b$的元素应该满足$b_3-b_2-b_1=0$，这样才能使矩阵第三行成立。对这个结论进行拓展，不难想到，当$b$在矩阵$A$的列空间内时，方程有解。明白这一点也会对我们接下来的操作有指导意义。

---

如同我们求零空间的方法，我们利用消元过后的自由列能快速得到一个关于$Ax=b$的特殊解。

具体到这道题上，我们可以看到$A_{1,1}与A_{2,3}$为主元。因为自由列的变量可以取任意值，为求计算方便，我们一般取其为0，即$x_2=0,x_4=0$。

那么此时的方程就变为了这样：

$$\begin{gathered} x_1+2x_3=b_1 \\ 2\times x_2=b_2-2b_1 \end{gathered}$$

因为$b_1,b_2$为参数，所以现在我们就求得了特解$x_{particular},即x_p$

---

又一次同样的，我们采用求零空间时的方法，利用特解来求得所有的解，而这里也会用上零空间$N$，设其中任意的元素为$n$吧。

那么，我们有：

$$\begin{gathered} A{x}_p=b \\ An=0 \end{gathered}$$

不难发现，$A(x_p+n)=b$，即特解加上零空间的和后得到的向量同样是方程的解。不妨猜想，特解加上零空间即使所有的解。前面证明了充分性，下面证明必要性：

设$x$为一个任意的方程的解，有
$$\begin{gathered} Ax=b \\ A{x}_p=b \\ \to A(x-x_P)=0 \end{gathered}$$
换言之$n+x_p=x$
证得必要性成立。

所以，我们得到了$Ax=b$的解，即为其特解加上$A$的零空间。

此时，再来想象一下，零空间是经过原点的向量空间，那么$Ax=b$的解就应是将零空间向特解的方向平移过去所得。要注意的是，其解并不包含原点，所以不是向量空间。

---