空间解析几何【上】

两向量共线&三向量共面

两向量 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$ 共线充要条件是对应坐标成比例，即
$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$$
推论

三点 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$C(x_3,y_3,z_3)$ 共线充要条件
$$\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}=\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}$$

三非零向量 $\vec{a}(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}(x_2,y_2,z_2)$，$\vec{c}(x_3,y_3,z_3)$ 共面充要条件
$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$$

四点 $A_i(x_i,y_i,z_i)(i=1,2,3,4)$ 共面充要条件
$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\\ x_4-x_1& y_4-y_1& z_4-z_1\end{array}\right|=0$$
或
$$\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\\ x_4& y_4& z_4& 1\end{array}\right|=0$$

线段定比分点

设空间两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2,z_2)$，点 $P(x,y,z)$ 在 $P_1{P}_2$ 两点连线上按比例 $\lambda$ 分割线段 $P_1{P}_2$ 的点 $P$，即

$$\frac{P_{1}P}{P{P}_2}=\lambda$$

其中，

$$\{\begin{array}{ll}\lambda >0& (P\in P_1\\ \lambda <0& \end{array}$$