我谈维纳（Wiener）复原滤波器

Rafael Gonzalez的《数字图像处理》中，图像复原这章内容几乎全错。上篇谈了图像去噪，这篇谈图像复原。

图像复原也称为盲解卷积，不处理点扩散函数（光学传递函数）的都不是图像复原。几何校正不属于图像复原，图像投影重建也不属于图像复原，都不能归入图像复原。由于图像复原是图像降质模型的求逆过程，其目的是使估计图像逼近原图像。以频域和空域的分类不合理，频域只是实现方式，最小均方误差复原和最小二乘复原都有频域和空域解。逆滤波可认为是最小二乘复原的频域解，假设噪声不存在的情况下推导逆滤波的思路不合理。维纳滤波是线性最小均方复原的频域解，它是最小均方误差估计，不是最小二乘估计。MATLAB 也认为维纳滤波是最小二乘解。最小均方估计和最小二乘估计是两个完全不同的概念，最小均方估计假设已知信号的分布，线性最小均方误差估计假设已知信号的一、二阶矩，最小二乘估计无须已知信号的统计知识。

维纳（Wiener）复原滤波器

Gonzalez的维纳（Wiener）复原滤波器问题很多，他的概念不清楚。


①不能随便假设信号或噪声的均值为零，Gonzalez总这样，在早期版本，在逆滤波中假设噪声为零，后来版本中就直接删除了这样的假设，那逻辑更不通了。逆滤波那里问题更大，谈到最小二乘估计再说。有些可以假设，不是想假设就假设。
②维纳滤波是线性最小均方复原的频域解，它是最小均方误差估计，不是最小二乘估计。
③功率信号不能做傅里叶变换。
④自相关的傅里叶变换是功率谱。$|N(u,v){|}^2$是能量谱。

维纳（Wiener）复原滤波器的推导

维纳-霍普夫方程式

频域维纳复原滤波器

最后，维纳滤波的推导建立在零均值平稳随机过程的基础之上。当数据做了中心化处理（减去均值）之后，互相关等价于互协方差，互相关才能衡量两个随机变量是否相关。所以信号处理中通常信号都是做中心化处理的，所以也就不区分相关函数和协方差函数。因为两者的概念毕竟不一样，所以就会导致难以阅读。

假设随机过程是均值遍历的，在频域滤波之前需要减去整幅图像的均值，滤波之后再加回均值。MATLAB 图像处理工具箱中的维纳滤波函数有误，我们书中在二维码提供的代码中修正了相关部分。

写在后面的话

某人将维纳滤波放在了约束复原，人家维纳滤波是经典的无约束复原，错得离谱。