卷积、频域乘积和矩阵向量乘积三种形式之间的等价关系与转换

线性移不变系统

线性移不变系统（Linear Time-Invariant System, LTI系统）同时满足线性和时不变性两个条件。

1. 线性：如果输入信号的加权和通过系统后，输出是这些输入信号单独通过系统后的输出的相同加权和，那么该系统就是线性的。数学上，对于任意输入信号$x_1(t)$和$x_2(t)$，以及任意常数$a$和$b$，如果系统满足：
   $$y(t)=a\cdot h(x_1(t))+b\cdot h(x_2(t))$$
   其中$h(\cdot )$表示系统对输入的响应，则该系统是线性的。

2. 时不变性：如果一个系统的输入信号延迟一段时间后，其输出仅仅是原输出信号同样延迟的时间，而没有其他变化，那么该系统就是时不变的。即，对于任意输入信号$x(t)$及其延迟版本$x(t-\tau )$，系统的输出也仅仅是$y(t)$延迟了$\tau$时间单位的版本$y(t-\tau )$。

LTI系统的一个重要性质是，它们可以通过卷积来描述。具体来说，如果$h(t)$是系统的冲激响应（即当输入为单位脉冲时系统的输出），$x(t)$是系统的输入信号，那么系统的输出$y(t)$可以通过输入信号与冲激响应的卷积来计算：
$$y(t)=(x\ast h)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

这个卷积公式表示，LTI系统的输出是输入信号与系统冲激响应之间的一种加权平均。这一性质使得LTI系统在理论分析和实际应用中都变得极其重要，尤其是在滤波器设计、通信系统、图像处理等领域。通过理解系统的冲激响应，可以预测系统对任何输入信号的响应。

卷积还可以写成频域乘积和矩阵向量乘积两种形式。

三者之间的等价关系与转换

时域卷积到频域乘积

①→②和②→①根据卷积定理，时域中的卷积对应于频域中的乘积。时域卷积通常用于理论分析，而频域乘积则更常用于实际计算，尤其是当信号长度较长时，通过快速傅里叶变换（FFT）实现的频域乘积可以显著提高计算效率。

1. 傅里叶变换：首先对输入信号$x(t)$和冲激响应$h(t)$进行傅里叶变换，得到它们的频域表示$X(f)$和$H(f)$。
   X ( f ) = F { x ( t ) } X(f) = \mathcal{F}\{x(t)\} X(f)=F{x(t)}
   H ( f ) = F { h ( t ) } H(f) = \mathcal{F}\{h(t)\} H(f)=F{h(t)}
   这里是psf2otf，解释见这里。
2. 频域乘积：在频域中，将$X(f)$和$H(f)$相乘，得到输出信号的频域表示$Y(f)$。
   $$Y(f)=X(f)H(f)$$
3. 逆傅里叶变换：对$Y(f)$进行逆傅里叶变换，得到输出信号$y(t)$。
   y ( t ) = F − 1 { Y ( f ) } y(t) = \mathcal{F}^{-1}\{Y(f)\} y(t)=F−1{Y(f)}

时域卷积到矩阵向量乘积

①→③对于有限长的离散信号，卷积可以完全等价地用矩阵向量乘积来表示。这种方法在实现离散信号处理算法时非常有用，它可以利用线性代数来进行表示和计算。

1. 构建卷积矩阵：根据冲激响应$h[n]$，构建卷积矩阵$\mathbf{H}$。假设$x[n]$的长度为$N$，$h[n]$的长度为$M$，则$\mathbf{H}$是一个$(N+M-1)\times N$的矩阵。
   $$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc}h[0]& 0& \cdots & 0\\ h[1]& h[0]& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ h[M-1]& h[M-2]& \cdots & h[0]\\ 0& h[M-1]& \cdots & h[1]\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & h[M-1]\end{array}\right]$$
2. 矩阵向量乘积：将输入信号$x[n]$表示为列向量$\mathbf{x}$，计算输出向量$\mathbf{y}$。
   $$\mathbf{y}=\mathbf{Hx}$$
   
   
   
   

矩阵向量乘积到时域卷积

③→①对于一个$n\times n$的循环矩阵$C$和一个$n$维向量$x$，计算$Cx$的过程实际上是一个卷积操作。设$c$为$C$的第一列，那么$Cx$等价于将$c$和$x$进行循环卷积。

1. 提取冲激响应：从卷积矩阵$\mathbf{H}$中提取冲激响应$h[n]$。通常，$\mathbf{H}$的第一行或第一列就是$h[n]$。
2. 计算卷积：使用提取的$h[n]$和输入信号$x[n]$计算卷积。
   $$y[n]=(x\ast h)[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[n-k]h[k]$$

矩阵向量乘积到频域乘积

③→②[循环矩阵和BCCB矩阵的对角化，即特征值分解，特征值是傅里叶系数，特征向量是傅里叶变换基。](https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/143728757?spm=1001.2014.3001.5501)

总结

• 时域卷积 和 频域乘积 通过傅里叶变换和逆傅里叶变换相互转换。
• 时域卷积 和 矩阵向量乘积 通过构建卷积矩阵实现相互转换。
• 矩阵向量乘积 到 时域卷积 通过提取卷积矩阵中的冲激响应实现。