GRS码（Generalized Reed-Solomon Code）

定义： 令$k\le n\le q$，$\alpha \in {\mathbb{F}}_q^n$是n元组（ α = ( α 1 , . . . , α n ) , α i ≠ α j , ∀ i ≠ j ∈ { 1 , . . . , n } \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n),\alpha_i\ne \alpha_j,\forall i\ne j\in \{1,...,n\} α=(α1​,...,αn​),αi​=αj​,∀i=j∈{1,...,n}）。令$\beta \in {\mathbb{F}}_q^n$, β = ( β 1 , . . . , β n ) , β i ≠ 0 , ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } \beta=(\beta_1,...,\beta_n),\beta_i\ne0,\forall i\in\{1,...,n\} β=(β1​,...,βn​),βi​=0,∀i∈{1,...,n}。长度$n$维度$k$的GRS码（$GR{S}_{n,k}(\alpha ,\beta )$）:
$$GR{S}_{n,k}(\alpha ,\beta )=\{({\beta }_{1}f({\alpha }_1),...,{\beta }_{n}f({\alpha }_n))|f\in {\mathbb{F}}_q[x],deg(f)<k\}$$

当$\beta =(1,...,1)$时，称为RS码（$R{S}_{n,k}(\alpha )$）。