【机器学习】机器学习的基本分类-监督学习-逻辑回归-Sigmoid 函数

Sigmoid 函数是一种常用的激活函数，尤其在神经网络和逻辑回归中扮演重要角色。它将输入的实数映射到区间 (0, 1)，形状类似于字母 "S"。

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1. 定义与公式

Sigmoid 函数的公式为：

特点

1. 输出范围：(0, 1)，适合用于概率预测。
2. 单调性：是一个单调递增函数。
3. 对称性：以 x = 0 为中心，对称于 y = 0.5。

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2.Sigmoid 函数的推导过程

2-1. 目标与需求

我们希望构造一个函数 f(x) 满足以下性质：

1. 输出范围：f(x) 的值限定在区间 (0, 1)，便于解释为概率。
2. 平滑性：函数连续且可导，以便使用梯度下降进行优化。
3. 单调性：函数值随着输入 x 的增大而增大。
4. 对称性：以 x = 0 为对称中心，输入为 0 时，输出为 0.5，表示不偏不倚的概率。

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2-2. 构造 Sigmoid 函数

为了满足这些性质，可以使用指数函数 的形式，因为指数函数本身是平滑的、单调递增的。

构造输出范围

首先，为了限制输出范围在 (0, 1)，我们构造如下函数：

其中 g(x) > 0 保证分母大于 1，因此 f(x) 始终在 (0, 1)。

选择 ，得到：

性质验证

1. 输出范围：

   
   • 当 ，，；
   • 当 ，，。

2. 单调性： 指数函数 单调递减，分母 随 x 增大而变大，分数值变小，因此 f(x) 单调递增。

3. 对称性： 令 x = 0，

   

   满足 f(0) = 0.5，以 x = 0 为中心对称。

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2-3. 导数推导

公式

导数计算如下：

对 f(x) 求导：

1. 分母求导法则：

   

2. 应用到 f(x)： 设 ，则：

   

3. 进一步化简：

   

   记 ，得：

   

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2-4. 推导的直观解释

概率建模视角

Sigmoid 函数可以看作将线性模型的输出 转换为概率值的过程：

当 ，预测概率接近 1；当 ，预测概率接近 0。

对称性与平滑性

• 对称性来源于指数函数的性质：负指数 的曲线是正指数 的镜像。
• 平滑性来源于指数函数的连续和可导性。

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3. Sigmoid 的性质

导数

Sigmoid 的导数具有简洁的形式：

这使得计算变得高效。

梯度消失问题

• 当 x 的绝对值较大时，σ(x) 的值接近 0 或 1，导数接近于 0。这会导致梯度更新过慢的问题，特别是在深层神经网络中。

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4. Sigmoid 的用途

1. 逻辑回归：

   • 用于将线性回归的结果转化为二分类概率。
   

2. 神经网络：

   • 作为激活函数，尤其是输出层，用于预测概率值。

3. 概率建模：

   • 用于模型的概率预测或生成。

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5. 缺点

1. 梯度消失：
   • 绝对值较大的输入导致梯度趋于 0，影响深层网络的训练。
2. 非零均值：
   • Sigmoid 输出的均值不为零，可能导致下一层神经元的输入分布偏移。

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6. 代码实现

以下是 Sigmoid 函数的实现及其应用示例。

Sigmoid 函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# Sigmoid 函数
def sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# Sigmoid 导数
def sigmoid_derivative(x):s = sigmoid(x)return s * (1 - s)# 绘图
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = sigmoid(x)
y_prime = sigmoid_derivative(x)plt.plot(x, y, label='Sigmoid Function')
plt.plot(x, y_prime, label='Sigmoid Derivative', linestyle='--')
plt.title("Sigmoid and Its Derivative")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

逻辑回归示例

# 导入必要的库
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score# 生成一个模拟的二分类数据集
# 这里详细说明了数据集的特性：样本数、特征数、类别数、信息特征数、冗余特征数、重复特征数和随机种子
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=4, n_classes=2, n_informative=2, n_redundant=1, n_repeated=0,random_state=0)# 将数据集分为训练集和测试集，测试集大小为30%，并设置了随机种子以保证结果的可重复性
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 初始化逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
# 使用训练集数据训练模型
model.fit(X_train, y_train)# 使用训练好的模型对测试集进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 打印模型的准确率
print("Accuracy:", accuracy_score(y_test, y_pred))

输出结果

Accuracy: 0.9

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7. Sigmoid 的替代品

为了克服 Sigmoid 的缺点，神经网络中常用以下替代激活函数：

1. ReLU（Rectified Linear Unit）： f(x) = max(0, x)
2. Leaky ReLU：
3. Tanh： 输出范围为 (-1, 1)。

Sigmoid 函数虽然简单，但由于其梯度问题和计算开销，在深度学习中逐渐被其他激活函数所取代。不过，它在概率建模等领域仍然非常实用！