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【笔记】离散数学 1-3 章

news 2025/11/15 18:51:55

1. 数理逻辑

1.1 命题逻辑的基本概念

1.1.1 命题的概念

命题（Proposition）：是一个陈述句，它要么是真的（true），要么是假的（false），但不能同时为真和假。例如，“北京是中国的首都”是一个真命题；“2+2=5”是一个假命题。

注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题；陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题。

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简单命题与复合命题

简单命题（原子命题）：一个不能被进一步分解为更简单的命题的陈述句。例如，“北京是中国的首都”就是一个简单命题。
复合命题：由两个或多个简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题。例如，“北京是中国的首都并且上海是中国最大的城市”就是由两个简单命题通过“并且”这个联结词组合成的复合命题。

1.1.2 否定、析取、合取连结词

联结词

（Connectives）：是用来组合一个或多个命题以形成新的命题的逻辑运算符。常见的联结词包括：

否定（Negation），通常表示为 ¬ 或 ~
合取（Conjunction），通常表示为 ∧ 或 &
析取（Disjunction），通常表示为 ∨ 或 |
条件（Conditional），通常表示为 → 或 =>
双条件（Biconditional），通常表示为 ↔ 或 <=>

例题2：

将下列命题符号化：

(1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学.

解：

定义基本的原子命题：

P：吴颖用功。
Q：吴颖聪明。
R：张辉是三好生。
S：王丽是三好生。
T：张辉与王丽是同学。

每个命题符号化如下：

(1)吴颖既用功又聪明。
符号化：P∧Q
这里使用了合取联结词 ∧（and）来表示“既…又…”。

(2)吴颖不仅用功而且聪明。
符号化：P∧Q
尽管表述方式不同，但逻辑上与第(1)题相同，都是表示吴颖同时具有用功和聪明这两个属性。

(3)吴颖虽然聪明，但不用功。
符号化：Q∧¬P使用了合取联结词 ∧ 和否定 ¬ 来表示“虽然…但是…”。这里表示吴颖聪明（Q），并且不是用功的（¬P）。

(4)张辉与王丽都是三好生。
符号化：R∧S
使用了合取联结词 ∧ 来表示两个人都满足某个条件，即张辉是三好生（R）且王丽也是三好生（S）。

(5)张辉与王丽是同学。
符号化：T
这是一个简单的原子命题，直接用 T 表示张辉与王丽是同学这一事实。

例题3：

将下列命题符号化：(1) 2 或 4 是素数.(2) 2 或 3 是素数.(3) 4 或 6 是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.

解

(1) 令 p: 2 是素数, q: 4 是素数, p ∨ q

(2) 令 p: 2 是素数, q: 3 是素数, p ∨ q

(3) 令 p: 4 是素数, q: 6 是素数, p ∨ q

(4) 令 p: 小元元拿一个苹果, q: 小元元拿一个梨,

(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

(5) p: 王小红生于 1975 年, q: 王小红生于 1976 年，

(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) 或 p ∨ q

(1) — (3) 为相容或：表示两个条件中至少一个为真，但也可以同时为真。

(4) — (5) 为排斥或：表示两个条件中恰好有一个为真，不能同时为真也不能同时为假。

符号化时 (5) 可有两种形式，而 (4) 则不能

(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨
解释：这是一个典型的排斥或（exclusive or）的情况。小元元要么拿一个苹果，要么拿一个梨，但不能同时拿两者，也不能什么都不拿。

(5) 王小红生于 1975 年或 1976 年
解释：这里存在两种可能的解释：
相容或：王小红可能生于 1975 年，或者生于 1976 年，或者两个年份都可以（虽然实际上一个人不可能同时出生于两个年份）。
排斥或：王小红必须且只能生于 1975 年或 1976 年中的一个年份，不能同时出生在两个年份，也不能都不在这两个年份出生。

1.1.3 蕴含联结词

设 $p$ 和 $q$ 为两个命题，复合命题“如果 $p$ ，则 $q $”称作 $ $ 与 $q$ 的蕴涵式，记作 $p\rightarrow q$ ，并称 $p$ 是蕴涵式的前件， $q$ 为蕴涵式的后件， $\rightarrow$ 称作蕴涵联结词。规定： $p$ $\rightarrow$ $q$ 为假当且仅当 $p$ 为真而 $q$ 为假。
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例题4：

只要天冷，小王就穿羽绒服。
◦ 符号化：𝑝→𝑞
◦ 解释：这里的“只要…就…”结构暗示了一个条件语句，即如果前提条件𝑝(天冷)满足，那么结论𝑞(小王穿羽绒服)必然发生。这是标准的蕴含关系，用逻辑符号表示就是𝑝→𝑞。

因为天冷，所以小王穿羽绒服。
◦ 符号化：𝑝→𝑞
◦ 解释：“因为…所以…”同样表达了因果关系，即𝑝(天冷)是𝑞(小王穿羽绒服)发生的充分条件。这也是一种蕴含关系，符号化为𝑝→𝑞。

若小王不穿羽绒服，则天不冷。
◦ 符号化：¬𝑞→¬𝑝
◦ 解释：这句话的意思是如果观察到𝑞
(小王穿羽绒服)的否定情况，即小王没穿羽绒服，那么可以推断出𝑝(天冷)的否定情况，即天不冷。这是一种反向的蕴含关系，符号化为¬𝑞→¬𝑝。

只有天冷，小王才穿羽绒服。
◦ 符号化：𝑞→𝑝
◦ 解释：“只有…才…”强调了必要条件，即要使𝑞(小王穿羽绒服)成为现实，𝑝(天冷)是必不可少的。换句话说，如果没有𝑝，就没有𝑞。这可以通过𝑞→𝑝来表示。

除非天冷，小王才穿羽绒服。
◦ 符号化：𝑞→𝑝
◦ 解释：“除非…才…”与“只有…才…”类似，都在说明𝑝(天冷)是𝑞(小王穿羽绒服)的必要条件。因此，符号化仍然是𝑞→𝑝。

除非小王穿羽绒服，否则天不冷。
◦ 符号化：¬𝑞→¬𝑝
◦ 解释：这句话的意思是如果小王不穿羽绒服（¬𝑞），那么我们可以得出天不冷（¬𝑝）的结论。这也是一个反向的蕴含关系，符号化为¬𝑞→¬𝑝。

如果天不冷，则小王不穿羽绒服。
◦ 符号化：¬𝑝→¬𝑞
◦ 解释：这句话直接给出了一个条件语句，即如果前提条件¬𝑝
(天不冷)满足，那么结论¬𝑞(小王不穿羽绒服)必然发生。这是另一种形式的蕴含关系，符号化为¬𝑝→¬𝑞。

小王穿羽绒服仅当天冷的时候。
◦ 符号化：𝑞→𝑝
◦ 解释：“仅当…时候…”再次强调了必要条件，即𝑝(天冷)是𝑞
(小王穿羽绒服)发生的唯一条件。因此，符号化为𝑞→𝑝。

1.1.4 等价联结词

设 p, q 为两个命题，复合命题 “p 当且仅当 q” 称作 p 与 q 的等价式，记作 p↔q，↔ 称作等价联结词。规定 p↔q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真或同时为假。

p↔q 的逻辑关系：p 与 q 互为充分必要条件。这意味着如果 p 为真，则 q 也为真；如果 q 为真，则 p 也为真。同样，如果 p 为假，则 q 也为假；如果 q 为假，则 p 也为假。这种关系在逻辑上是对称的，表明两个命题在逻辑上是等价的。

例题：
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解：

(1) 2+2=4 当且仅当 3+3=6。

• 𝑝: 2+2=4 是真的。
• 𝑞: 3+3=6 也是真的。
• 因为 𝑝和 𝑞 都是真的，所以 𝑝↔𝑞是真的。

(2) 2+2=4当且仅当 3 是偶数。
• 𝑝: 2+2=4 是真的。
• 𝑞: 3 是偶数，这是假的，因为3是奇数。
• 因为 𝑝 为真而 𝑞 为假，所以 𝑝↔𝑞 是假的。
(3) 2+2=4 当且仅当太阳从东方升起。
• 𝑝: 2+2=4 是真的。
• 𝑞: 太阳从东方升起，这是一个自然规律，是真的。
• 因为 𝑝和 𝑞 都是真的，所以 𝑝↔𝑞 是真的。
(4) 2+2=4 当且仅当美国位于非洲。
• 𝑝: 2+2=4 是真的。
• 𝑞: 美国位于非洲，这是假的，因为美国位于北美洲。
• 因为 𝑝 为真而 𝑞 为假，所以 𝑝↔𝑞 是假的。
(5) 函数 𝑓(𝑥) 在 𝑥0 可导的充要条件是它在 𝑥0 连续。
• 这是一个数学定理，如果一个函数在某个点可导，那么它在该点必然连续。但是，一个函数在某个点连续，并不一定意味着它在该点可导。例如，绝对值函数在0点连续但不可导。
• 因此，这个命题是假的，因为可导性是连续性的一个更强的条件，而不是充要条件。

1.2 命题公式及其赋值

1.2.1 合式公式

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几点说明：归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号可以省去

1.2.2 合式公式的层次

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1.2.3 公式赋值

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1.2.4 真值表

将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成表, 称作A的真值表.

构造真值表的步骤:

找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, … , pn(若无下角标则按字母顺序排列), 列出 $2^n$ 个全部赋值, 从00…0开始, 按二进制加法, 每次加1, 直至11…1为止.
按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
对每个赋值依次计算各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值为止.

例题：
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1.2.5 公式的类型

公式的类型：

(1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式;

(2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式;

(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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注意：重言式是可满足式，但反之不真.

真值表的用途:

求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 判断公式的类型

1.3 练习题

练习1：

将下列命题符号化

(1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的.

(2) 苹果树和梨树都是落叶乔木.

(3) 王小红或李大明是物理组成员.

(4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员.

(5) 由于交通阻塞，他迟到了.

(6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到.

(7) 他没迟到，所以交通没阻塞.

(8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到.

(9) 他迟到当且仅当交通阻塞.

解：

(1) 是简单命题 (2) 是合取式

(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）

（5）–（9）题的解：

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练习2：

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习题3：

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解：

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2. 命题逻辑等值演算

2.1 等值式

2.1.1 等值式概念

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例题1：

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解：

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2.1.2 基本等值式

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特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础

2.1.3 等值演算与置换规则

等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程
等值演算的基础：

(1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性

(2) 基本的等值式

(3) 置换规则（见3）
置换规则：设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换,Φ(A)中所有的A后得到的命题公式,若Φ(B) <=>Φ(A)，则 Φ(B) <=> Φ(A)

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写题的时候可以省去注明中的置换规则

注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值。

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2.1.4 等值演算的应用举例

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2.2 析取范式与合取范式

2.2.1 概念

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2.2.2 范式的性质

定理2.1

(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式。

例子：
- 假设有一个简单析取式 P∨¬P。
- 根据逻辑的定义，无论 P 是真还是假，P∨¬P 总是为真。
- 因此，P∨¬P 是一个重言式。
- 反之，如果一个简单析取式不包含任何命题变项及其否定式，如 P∨Q，则它不是重言式，因为存在 P 和 Q 都为假的情况，使得整个表达式为假。

(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式。

例子：
- 假设有一个简单合取式 P∧¬P。
- 根据逻辑的定义，无论 P 是真还是假，P∧¬P 总是为假。
- 因此，P∧¬P 是一个矛盾式。
- 反之，如果一个简单合取式不包含任何命题变项及其否定式，如 P∧Q，则它不是矛盾式，因为存在 P 和 Q 都为真的情况，使得整个表达式为真。

定理2.2

=(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取式都是矛盾式。

例子：
- 假设有一个析取范式 (P∧¬P)∨(Q∧¬Q)。
- 由于 P∧¬P 和 Q∧¬Q 都是矛盾式，因此整个析取范式也是矛盾式。
- 反之，如果析取范式中有一个简单合取式不是矛盾式，如 (P∧Q)∨(R∧S)，则整个析取范式不是矛盾式，因为存在 P,Q,R,S 的某些真值组合使得整个表达式为真。

(2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

例子：
- 假设有一个合取范式 (P∨¬P)∧(Q∨¬Q)。
- 由于 P∨¬P 和 Q∨¬Q 都是重言式，因此整个合取范式也是重言式。
- 反之，如果合取范式中有一个简单析取式不是重言式，如 (P∨Q)∧(R∧¬R)，则整个合取范式不是重言式，因为存在 P,Q,R 的某些真值组合使得整个表达式为假。

定理2.3（范式存在定理）

任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式

小练习：

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例题 5：

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解：

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2.2.3 极小项与极大项

概念：

在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1 $\leq$ i $\leq$ n），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.

几点说明：

n个命题变项有 $2^n$ 个极小项和 $2^n$ 个极大项
$2^n$ 个极小项（极大项）均互不等值
用 $m_{i}$ 表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用 $M_{i}$ 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示. $m_{i}$ （ $M_{i}$ ）称为极小项（极大项）的名称.

实例：

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2.2.4 主析取范式与主合取范式

概念：

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主范式的存在唯一定理：

任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是唯一的

2.2.5 求公式主范式的步骤

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例题：

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2.2.6 主范式的应用

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2.3 联结词的完备集

暂时没学，期末考试不严格的出这方面的题。

2.4 习题

第一题：

设A与B为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？

(1) A<=>B当且仅当A与B有相同的主析取范式

(2) 若A为重言式，则A的主合取范式为0

(3) 若A为矛盾式，则A的主析取范式为1

(4) 任何公式都能等值地化成{∧, ∨}中的公式

(5) 任何公式都能等值地化成{¬, ->, ∧}中的公式

答：（1）真。（2）假。（3）假。（4）假。（5）真。

说明:

(2) 重言式的主合取范式不含任何极大项，为1.

(3) 矛盾式的主合析范式不含任何极小项, 为0.

(4){∧, ∨}不是完备集，如矛盾式不能写成{∧, ∨}中的公式.

(5) {¬, ->, ∧}是完备集.