2022高等代数上【南昌大学】

2022 高等代数

1. 证明：$p(x)$ 是不可约多项式的充要条件是对任意的多项式 $f(x),g(x)$，若 $p(x)\mid f(x)g(x)$，则有 $p(x)\mid f(x)$ 或 $p(x)\mid g(x)$。

$\Rightarrow$

当 $p(x)$ 是不可约多项式，且 $p(x)\mid f(x)g(x)$ ，若 $p(x)\nmid f(x)$，则两多项式互素，即 $(p(x),f(x))=1$，于是 $p(x)\mid g(x)$

$\Leftarrow$

若 $p(x)$ 可约，设 $p(x)=p_1(x)p_2(x)$ ，$\partial \left(p_i(x)\right)=\mathrm{deg}{p}_i(x)<\mathrm{deg}p(x)=\partial \left(p(x)\right)(i=1,2)$ ，$p(x)\mid p_1(x)p_2(x)$ ，但 $p(x)\nmid p_1(x)$，$p(x)\nmid p_2(x)$

2. 计算行列式

$$\left|\begin{array}{ccccc}{2}^n-2& 2^{n-1}-2& \cdots & 2^3-2& 2^2-2\\ 3^n-3& 3^{n-1}-3& \cdots & 3^3-3& 3^2-3\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ n^n-n& n^{n-1}-n& \cdots & n^3-n& n^2-n\end{array}\right|.$$

法 1
$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cccc}{2}^n-2& 2^{n-1}-2& \cdots & 2^2-2\\ 3^n-3& 3^{n-1}-3& \cdots & 3^2-3\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ n^n-n& n^{n-1}-n& \cdots & n^2-n\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cccc}{2}^{n-1}(2-1)& 2^{n-2}(2-1)& \cdots & 2(2-1)\\ 3^{n-1}(3-1)& 3^{n-2}(3-1)& \cdots & 3(3-1)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ n^{n-1}(n-1)& n^{n-2}(n-1)& \cdots & n(n-1)\end{array}\right|\\ & =(n-1)!\left|\begin{array}{cccc}{2}^{n-1}& 2^{n-2}& \cdots & 2\\ 3^{n-1}& 3^{n-2}& \cdots & 3\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ n^{n-1}& n^{n-2}& \cdots & n\end{array}\right|\\ & =n!(n-1)!\left|\begin{array}{cccc}{2}^{n-2}& 2^{n-3}& \cdots & 1\\ 3^{n-2}& 3^{n-3}& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ n^{n-2}& n^{n-3}& \cdots & 1\end{array}\right|\\ & =n!(n-1)!{\left(-1\right)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\prod _{2\le j<i\le n}(i-j)\\ & ={\left(-1\right)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\prod _{k=1}^{n}k!\end{array}$$
法 2
$$\begin{array}{r}|\end{array}$$