二分查找（带图详解）

优选算法系列

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前言

在这篇博客中，我会给大家分享二分查找及其扩展。

这是链接->Leetcode二分查找

我们先以常规二分查找来引入。

一、二分查找的思想

接下来的讲解，我们以这个例题为背景来展开叙述。链接已放置上方。

例：
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1.你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2.n 将在 [1, 10000]之间。
3.nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

对于上面那题，如果我们使用暴力查找，当数据量比较大时查找效率时比较低的，而且还没有利用题中给除的，数组有序这个条件。
二分查找的思想是比较简单的，对于有序的数据，我们在查找某一值时：
首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较
如果相等最好，就可以直接返回答案了
如果不相等:

1.如果中间的数字大于目标值，则中间数字向右的所有数字都大于目标值，全部排除
2.如果中间的数字小于目标值，则中间数字向左的所有数字都小于目标值，全部排除

二分法就是按照这种方式进行快速排除查找的。接下来我们对上面例题，使用二分思想进行画图解决。

二、算法使用

开始时设left为数据左指针，right为数据右指针，mid为中间值指针，target为目标值。
注：以下标作为指针进行计算。
mid=(left+right)/2,此时：

讲mid指针指向值于目标值比较，我们发现该值小于目标值，因为数组有序，所以mid指针左侧值都小于目标值，这时我们更行left指针，因为我们知道mid及其左侧值均已小于目标值所以：
left=mid+1;
再次进行查找
mid=(left+right)/2,此时：

再次与目标值进行比较，发现仍小于目标值，再次更新left指针
left=mid+1，再次查找
mid=(left+right)/2,此时：

将mid指向值与target进行比较，发现与目标值相等，循环结束。
这是查找是，目标值存在的情况下，那么如果目标值不存在呢？接下来我们继续分析.

对与上面相同过程我们就不赘述了。

我们接着将mid指向的值，与target比较，发现指向值大于目标值，此时我们可以确定，mid右侧值都大于目标值，这时我们就该更新右侧指针right。
right=mid-1;

这时我们就没有继续下去的必要了，因为left已经大于right了。那么当两个指针相等时我们还要继续判断吗？我们就制造除一个这样的场景看看吧。刚好你可以再梳理一遍过程。

首先进入循环：
mid=(left+right)/2,此时：

接着将mid指向值与target比较，发现小于target，舍弃mid及左边值。更新left
,left=mid+1,再次进入循环
mid=(left+right)/2,此时：

继续比较，更新left,left=mid+1，此时我们想要的场景就来了，更行left后：

这时就出现了当left=right时，我们是否继续循环的情况，结果很，明显吧，对于这两个指针指向的值，我们并不能将他排除掉，所以当然要再次进入循环了。

小总结

循环结束条件：左指针处在右指针的右边时（left>right）

细节问题:
1、在有的情况下我们使用mid=(left+right)/2来对指针取中时,如果left与right相加数值较大时(int类型存不下)可能会发生数据截断,这时我们往往采用mid=(right-left)/2+right,来代替上面的方式,至于为什么可以代替,大家举两个示例,计算一下就可以知道.
2、上一条提到的mid=(right-left)/2+left,也许你在其他地方见过mid=(right-left+1)/2+left这种写法,对于普通的二分查找,这两种写法并没有本质的区别,在下面我们会展开讲解

对于普通该念的二分查找，我们必须要求查找数据有序。

三、代码实现

int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right)//循环继续的条件{int mid=left+(right-left)/2;if(target>nums[mid])left=mid+1;//小于目标值跟新左指针else if(target<nums[mid])right=mid-1;//大于目标值更新右指针else return mid;//找到直接返回，结束循环}return -1;//未找到返回-1}

对于很多新手来说，大家往往被老师说的数组有序给限制了，大家思考一下，我们为什么可以一次排除一半的数据呢？这是因为我们可以从数据中选取一个值，这个值可以将数据分为，两部分（针对这里来说就是，我们可以时刻保证，左边比目标值小或右边比目标值大）而这个性质被称为二段性。其实对于可以将数据分为两部分的，我们都可以考虑，它是否可以使用二分来解决。

四、二分查找拓展

Leetcode在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

接下来我们以这个题为背景来讲解

例：
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109

这一题，我们使用上面讲的方法，是无法解决的，因为其中含有重复值，数组并非绝对有序，这时可能有人想，利用上面方法找到目标值后，将指针向前移动来找第一次出现的位置，向后移动来找第二次出现的位置不就可以了吗？但是这样的想法，当碰到一些特殊场景（如：目标值为3，待查找空间全为3）就相当于将数据都遍历一遍，这时我们的查找效率就大打折扣了。

上面我们提到，可以利用二分查找的原因并不是数组严格有序，是因为我们可以从中找取一个值将数据分为两部分，即数据具二段性。

对于上面这组数据，在查target第一次出现的位置时，我们可以利用第一个target，将左边变为小于target的，右边变为大于等于target的。同理查找最后出现的位置，我们利用target将左边变为小于等于target的，右边变为大于target的。这样说是很难理解的，接下来我们直接画图解题。

4.1、查找第一次出现的target

细节问题会在下面统一总结

首先进入循环
mid=left+(right-left)/2，此时：

比较mid指向的值，于target的关系，发现mid小于target，此时我们所选取的值就可以将数据分为两部分：

不合法区域：一定不含目标值的区域
合法区域：目标值存在区域

这种情况我们肯定是将左侧区域排除的，那么我们怎么更新左指针呢？当然是让他跳出不和法区域了，即：
left=mid+1,此时：

这样第一轮循环算是结束了，但这时候我们并没有找到目标中，所以再次进入循环：
mid=left+(right-left)/2,此时：

将mid指向的值，与target比较发现相等，此时我们并不知道mid指向的位置是否为第一个target的值，
但是我们可以确定mid右侧（不包含mid）的值都大于等于target

所以这时候我们虽然不知到它是否为第一个值，但我们可以确定它右侧一定不包含第一次出现的target，这时我们就可以更新right：
right=mid,为是什么这样更新呢，因为我们无法将mid排除，此时：

再次进入循环，mid=left+(right-left)/2,此时：

比较target与mid指向的值,发现相等，继续更新right,right=mid此时:

这是我们还要进入循环吗？很显然不需要了，当left==right是我们就可以跳出循环，判断他们所指向值是否，等于target，如果相等，我们就找到了，那么如果，待查找值不存在呢？它的结束条件又是什么呢？接下来我们继续看：

为了大家好理解，这次我们以上面的逻辑从头开始。

首先进入循环
mid=left+(right-left)/2,此时：

将mid指向值与target比较发现小于target，更新left ，left=mid=1，此时：

再次进入循环，mid=left=(right-left)/2,此时：

比较…更新left，left=mid+1,此时：

再次进入mid=left+(right-left)/2,此时：

比较…更新…相等了就不要再继续了
服啦我画麻了！！！！气死了…啊啊啊。

小总结

1.结束条件：left<right，当left=right时我们只需结束循环，并在循环外进行判断即可。
2.这里不可使用mid=left+(right-left+1)/2,具体原因当我们使用这个对mid进行计算时，有可能进入死循环如：

当我们次进入循环时，计算的mid仍然不变，这时我们就会更新right,right=mid…再次循环。
这样就造成了死循环问题。

4.2、target最后出现的位置

因为我们要查找最后一次出现的位置，所以要保证左边为小于等于target的，右边为大于target的这样如果存在则left最终指向的就是要查找值，这里大家也继续在过程中体会吧

进入循环，mid=left+(right-left+1)/2（这里和上面有点区别，后面分析），此时：

将mid指向值与target比较发现，mid指向值满足小于等于target，left=mid,此时：

再次进入循环，mid=left+(right-left+1）/2，此时：

继续比较，此时mid指向值仍然小于等于target，再次更新，left=mid,此时：

进入循环，mid=left+(right-left+1)/2，此时：

将mid指向值于target比较，发下大于target，更新right，right=mid-1，此时：

小总结

1.这里不可以使用mid=left+(right-left)/2来跟新mid，不然会造成死循环，大家将两次对比记忆。

五、代码

vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {vector<int>v={-1,-1};int left=0,right=nums.size()-1;//初始指针while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target)left=mid+1;else right=mid;}if(left<nums.size()&&nums[left]==target) v[0]=left;left=0;right=nums.size()-1;//重置指针while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right=mid-1;}if(right<nums.size()&&nums[right]==target) v[1]=right;return v;}

总结

这里并没有将所以可能遇到的情况罗列出来，入果大家想尝试可以用下面三种模拟：
1.有节果
2.全大于
3.全小于

下面几题，可以使用二分思想来解答：
1.x的平方根
2.搜索插入位置
3.山脉数组的峰顶索引
4.寻找峰值