041_Compare_Matrix_Squre_Sum_in_MATLAB中矩阵平方和的比较

矩阵平方和的计算

矩阵平方和的定义

矩阵平方和的定义是对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。

对于一个矩阵$A$，其平方和定义为：

$$\text{sum}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}A(i,j{)}^2$$

这个平方和计算，在某些机器学习的算法中、或者特殊的优化问题中都会涉及到。

矩阵平方和的计算方法

通常而言，前面的公式就给出了计算的方法，无论怎么做，都会涉及到对矩阵中的每一个元素进行平方，然后求和。
因此算法的时间复杂度是$O(m\ast n)$，其中$m$是矩阵的行数，$n$是矩阵的列数，当$A$是方阵时，$m=n$。
最终，算法的效率取决于矩阵的表示形式和对矩阵元素的访问方式。
当然，还有可能会有一些特殊的优化方法，比如矩阵的特殊性质，可以通过一些特殊的方法来计算，这里不做考虑。

最后，就是并行指令集的使用，比如SIMD指令集，这里也不进行相关的讨论。

下面，就主要是对在Matlab中实现矩阵平方和的几种方法进行比较。其实比较的是Matlab中访问矩阵元素的方式的性能差异。

Matlab的若干实现

我们非常随意的实现了一些方法。

其中最重要的就是所谓的基线方法。这个方法通常选择一个最简单/直观的方法，便于抓住算法中的核心要素。
然后作为对比的基准，也能够对不同算法的性能进行比较。

这种研究办法，是一种常见的研究方法。例如，在优化算法中，通常选择格子搜索或者随机搜索作为基线方法。
提出一种新的方法，通常希望能够对比基线方法有更好的性能，并且这种性能提升是显著的。
此外，也会结合新算法与基线算法的执行过程来解释算法优势的原理，这就是一般算法研究文章中非常重要的理论分析。

function sumRet = bench_loop_row_column(A)% 按照行、列的方式进行循环求和，基线算法% 内存：O(1)% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)[m, n] = size(A);sumRet = 0;% 对行进行循环for i = 1:m% 对列进行循环for j = 1:nsumRet = sumRet + A(i, j) ^ 2;end% 列循环结束end% 行循环结束，
end

上面这个最为直观的算法，就是对矩阵的每一行进行遍历，然后对每一行的每一个元素进行平方，然后求和。
这个作为基线是一个恰当的选择。

相应的，我们就会想到先循环列，再循环行来作为对基线算法的改进。

function sumRet = bench_loop_column_row(A)% 按照列、行的方式进行循环求和，第一次改进的算法% 充分考虑到矩阵的存储方式：列优先% 内存：O(1)% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)[m, n] = size(A);sumRet = 0;for i = 1:nfor j = 1:msumRet = sumRet + A(j, i) ^ 2;endendend

考虑到Matlab能够直接索引列，我们就可以考虑对每列进行循环，直接对列进行操作。或者，换成对行进行操作。
下面几个算法就是行、列操作的形式，这里又有一个小小的差别，就是使用更多内存来直接进行向量加法，最后调用sum求和。
或者还可以在循环内部调用sum函数，这样内存的使用会从$\mathcal{O}(n)$降低到

function s = bench_loop_column_sum(A)% 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列% 用一个向量来存储每一列和% 最终调用sum函数求和% 内存：O(n)% 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)% 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)N = size(A, 2);v = zeros(size(A, 1), 1);for i = 1:Nv = v + A(:, i) .^ 2;ends = sum(v);
end

function s = bench_loop_sum_column(A)% 直接循环列，采用向量化的方式访问每个列% 直接对列调用sum函数求列和，最终累加求和% 内存：O(1)% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)s = 0;N = size(A, 2);for i = 1:Ns = s + sum(A(:, i) .^ 2);endend

function s = bench_loop_row_sum(A)% 直接循环行，采用向量化的方式访问每行% 用一个向量来存储行和% 最终调用sum函数求和% 内存：O(n)% 时间：考虑到，向量加法的时间复杂度是O(n)% 所以，这里的时间复杂度依然是O(m*n) ~ O(n^2)N = size(A, 1);v = zeros(1, size(A, 2));for i = 1:Nv = v + A(i, :) .^ 2;ends = sum(v);
end

function s = bench_loop_sum_row(A)% 直接循环行，采用向量化的方式访问每个行% 直接对行调用sum函数求行和，最终累加求和% 内存：O(1)% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)，这里同样认为.^ 的时间复杂度是O(n)s = 0;N = size(A, 1);for i = 1:Ns = s + sum(A(i, :) .^ 2);endend

接下来，我们利用矩阵的向量访问方式来构造一个算法。

function s = bench_loop_vec(A)% 直接将矩阵展开成一个向量，循环求和% 内存：O(1)% 时间：O(m*n) ~ O(n^2)s = 0;N = numel(A);for i = 1:Ns = s + A(i) .^ 2;endend

此外，sum函数也提供了两个算法变体，一个是调用两次（默认对行求和）

function s = bench_sum_sum(A)% 直接两次调用sum函数，对矩阵进行求和s = sum(sum(A .^ 2));
end

function s = bench_sum_all(A)% 直接调用一次sum函数，对矩阵进行求和s = sum(A .^ 2, 'all');
end

还可以把sum与矩阵列向量访问形式结合起来，构成一种算法。

function s = bench_sum_vec(A)% 直接将矩阵展开成一个向量% 进行元素.^计算，调用sum函数求和s = sum(A(:) .^ 2);
end

最后还是利用矩阵的向量展开方式，就是两个其实一样的算法，因为dot函数内部就是调用矩阵乘法。

function s = bench_vec_dot(A)% 直接将矩阵展开成一个向量，进行点积计算s = dot(A(:), A(:));
end

function s = bench_matrix_mul(A)% 直接将矩阵展开成一个向量，进行矩阵乘法计算s = A(:).' * A(:);
end

这些算法都非常平常，但是，通过上面的联系，也能提升我们对Matlab的矩阵操作的理解。
接下来就是对这些算法的性能进行比较。

性能比较

性能比较方法

时间性能比较，一般可以直接利用timeit函数来完成，这个函数会对一个函数进行多次调用，然后求中位数。
这个函数还能包括输出变量的构造时间。

利用这个函数，我们编了一个工具，对不同规模的矩阵进行比较。
这里代码的注释非常清楚，无需赘述。

%% Benchmark functions helper
function [n, result] = bench_f_n(n, f)% 按照给定的参数，对函数进行测试% n: 矩阵大小% f: 函数句柄% 返回值：n, result% n: 矩阵大小的向量， result: 运行时间的向量argumentsn (:, :) {mustBePositive}f function_handleend% 保证n是一个向量，并且是正整数n = round(n(:));result = zeros(1, numel(n));%  对每一个n进行测试，直接采用for循环，不使用arrayfunfor i = 1:numel(n)A = rand(n(i), n(i));result(i) = timeit(@()f(A));end% result = arrayfun(@(x) timeit(@()f(rand(x, x))), n);% 这样也是可以的，但是，对于此处，上面的写法更加直观% 这就是采用for循环的地方% 为了代码的可读性，并且对性能的影响不大，因为这里的循环次数不多
end

性能比较代码

我们把前面的算法代码和上面的性能比较代码放在一个+benchobjs的目录中，就构成一个namespace命名空间，通过import benchobjs.*来导入这些函数。
编写如下的测试脚本：

• Matlab code
  • 设置测试范围
  • 运行测试获取数据
  • 可视化测试结果

%% import functions in benchobjs
import benchobjs.*;%% setup problem
n = round(logspace(3, 4, 10));
functions = {@bench_loop_row_column, @bench_loop_column_row, ...@bench_loop_column_sum, @bench_loop_sum_column, ...@bench_loop_row_sum, @bench_loop_sum_row, ...@bench_loop_vec, @bench_sum_sum, ...@bench_sum_all, @bench_sum_vec, ...@bench_vec_dot, @bench_matrix_mul};
markers = {'o', 'x', '+', '*', 's', 'd', '^', 'v', '>', '<', 'p', 'h'};
% 这里是常见的小技巧，将函数的句柄存储在一个cell数组中
% 这样可以方便的对这些函数进行遍历
% 同时，把线型标签也存储在一个cell数组中，这样可以方便的对这些线型进行遍历%% calculation
results = cell(numel(functions), 2);for i = 1:numel(functions)[n, result] = bench_f_n(n, functions{i});results{i, 1} = n;results{i, 2} = result;fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...mat2str(n), mat2str(result));
endcmd = sprintf('save compareMatrixSquareSum%d  results', maxNumCompThreads);
eval(cmd);% 这里试图考虑到多线程的影响，目前在12核心的及其上进行了不同线程数的测试
% 发现对于这个问题，多线程并没有展现出过大的差别
%% Visualize
% 一般也会把原始数据画出来稍微看一下
% 为了确保数据的正确性，并且可以对数据进行初步的分析
figure;
clf;for i = 1:numel(functions)[n, result] = results{i, :};plot(n, result, 'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});yscale('log');hold on;fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...mat2str(n), mat2str(result));
endlegend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...functions, 'UniformOutput', false), ...'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-time.png', ...
%   'Resolution', 600);%% Visualize 2
% 针对基准的加速比，这是最常见的基准测试结果的展示方式
figure;
clf;for i = 2:numel(functions)[n, result] = results{i, :};plot(n, results{1, 2} ./ result, ...'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});hold on;fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...mat2str(n), mat2str(result));
endlegend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...functions(2:numel(functions)), 'UniformOutput', false), ...'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc.png', ...
%   'Resolution', 600);%% Visualize 2
% 去掉基准和两个最好的函数，这样可以进行更加细节的比较和分析
% 这里必要性不太大，主要是为了展示这种方式
figure;
clf;for i = 2:numel(functions) - 2[n, result] = results{i, :};plot(n, results{1, 2} ./ result, ...'LineWidth', 2, 'Marker', markers{i});hold on;fprintf('%s: %s: %s\n', func2str(functions{i}), ...mat2str(n), mat2str(result));
endlegend(cellfun(@(f)cellref(split(func2str(f), '.'), 2), ...functions(2:numel(functions) - 2), 'UniformOutput', false), ...'Location', 'BestOutSide', "interpreter", "none");
xlabel('Matrix size');
ylabel('Time (s)');
grid on% exportgraphics(gcf, '../matlab-img/compareMatrixSquareSum-acc-2.png',...
%    'Resolution', 600);```

性能比较结果

最终，可以得到如下的性能比较结果。

首先，不同算法的性能有一定差异。基本上，算法分为两组，也可以视为三组。

• 第一组是基线算法，对每一行进行遍历，然后对每一个元素进行平方，然后求和。
• 第二组是向量展开访问并调用矩阵乘法（mtimes直接调用BLAS二进制库）的两个算法，性能相当。
• 其他就是各种循环的组合以及sum函数的组合。

这个分组，按照加速比来看，更加明显。
向量展开+矩阵乘法的算法在1000~10000的规模下，性能均有显著提升，从15倍到40倍。

除去基线算法和向量化算法，其他算法的关系较为复杂，但是也能通过进行列访问、部分向量化来获得几倍的性能提升。
这充分显示了列优先矩阵访问对与计算效率的影响。

总结

• 进行算法开发，一定要按照基线算法、算法优化的思路来考虑。
• 对算法的效率进行比较，最好选择不同的规模来分析问题。
• 加速比是一个很好的指标，能够直观的看出算法的性能提升。