【C++】等差数列末项计算题解析及优化
文章目录
- 💯前言
- 💯题目描述与输入输出要求
- 💯数学分析与公式推导
- 公差的计算
- 通项公式推导
- 💯示例解析
- 解题步骤
- 💯程序实现与解析
- 初版代码
- 代码解析
- 优点与不足
- 改进实现:显式处理特殊情况
- 改进点分析
- 优点与不足
- 💯代码优化与封装
- 封装代码
- 优化点说明
- 💯实用提示与总结
- 💯小结
💯前言
- 等差数列是数学领域中极为重要的一类数列,其核心特征是任意相邻两项的差值保持不变。这一特性使得等差数列在
代数
与数论研究
中扮演着重要角色,同时广泛应用于数据建模、工程预测以及数值分析等实际场景。
本题的目标是,在给定等差数列的前两项 a 1 , a 2 a_1, a_2 a1,a2 的基础上,计算该数列的第 n n n 项。这一问题旨在测试解题者对等差数列公式的掌握、算法设计能力以及程序实现的准确性。
C++ 参考手册
💯题目描述与输入输出要求
题目描述
本题要求计算等差数列的第 n n n 项值。等差数列的定义如下:
- 任意相邻两项之间的差值为一个常量,称为公差 d d d。
- 数列的通项公式表达为:
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d an=a1+(n−1)⋅d
其中:- a n a_n an 表示数列的第 n n n 项。
- a 1 a_1 a1 表示数列的第一项。
- d d d 表示数列的公差。
输入格式
输入为一行,包含三个整数 a 1 , a 2 , n a_1, a_2, n a1,a2,n,满足以下条件:
- − 100 ≤ a 1 , a 2 ≤ 100 -100 \leq a_1, a_2 \leq 100 −100≤a1,a2≤100
- 0 < n ≤ 1000 0 < n \leq 1000 0<n≤1000
输出格式
程序输出一个整数,即数列的第 n n n 项的值。
输入输出示例
示例 1
输入:
1 4 100
输出:
298
💯数学分析与公式推导
公差的计算
公差 d d d 是等差数列的核心特性,由定义可得:
d = a 2 − a 1 d = a_2 - a_1 d=a2−a1
一旦确定了公差,便可以通过递推或通项公式计算出数列中的任意一项。
通项公式推导
将公差公式代入通项公式,我们得到:
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ ( a 2 − a 1 ) a_n = a_1 + (n - 1) \cdot (a_2 - a_1) an=a1+(n−1)⋅(a2−a1)
或者,从第二项 a 2 a_2 a2 出发,公式可以等价写为:
a n = a 2 + ( n − 2 ) ⋅ ( a 2 − a 1 ) a_n = a_2 + (n - 2) \cdot (a_2 - a_1) an=a2+(n−2)⋅(a2−a1)
这一形式为代码实现提供了更为灵活的选择。
💯示例解析
输入示例
1 4 100
解题步骤
-
计算公差 d d d:
d = a 2 − a 1 = 4 − 1 = 3 d = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3 d=a2−a1=4−1=3 -
计算第 100 项 a 100 a_{100} a100:
a 100 = a 1 + ( 100 − 1 ) ⋅ d = 1 + 99 ⋅ 3 = 1 + 297 = 298 a_{100} = a_1 + (100 - 1) \cdot d = 1 + 99 \cdot 3 = 1 + 297 = 298 a100=a1+(100−1)⋅d=1+99⋅3=1+297=298 -
验证结果:
- 通过代入公式验证,计算结果符合逻辑且准确。
输出结果
298
💯程序实现与解析
初版代码
以下代码直接采用公式实现:
#include <iostream>
using namespace std;int main() {int a1, a2, n;cin >> a1 >> a2 >> n;cout << (a2 - a1) * (n - 2) + a2 << endl;return 0;
}
代码解析
-
输入部分:
- 从标准输入读取 a 1 , a 2 , n a_1, a_2, n a1,a2,n。
-
计算部分:
- 直接使用公式 ( a 2 − a 1 ) ⋅ ( n − 2 ) + a 2 (a_2 - a_1) \cdot (n - 2) + a_2 (a2−a1)⋅(n−2)+a2。该公式等价于:
a n = a 2 + ( n − 2 ) ⋅ ( a 2 − a 1 ) a_n = a_2 + (n - 2) \cdot (a_2 - a_1) an=a2+(n−2)⋅(a2−a1)
- 直接使用公式 ( a 2 − a 1 ) ⋅ ( n − 2 ) + a 2 (a_2 - a_1) \cdot (n - 2) + a_2 (a2−a1)⋅(n−2)+a2。该公式等价于:
-
输出部分:
- 输出计算结果。
优点与不足
- 优点:
- 简洁直接,适合处理一般情况。
- 不足:
- 未显式处理特殊情况(如 n = = 1 n == 1 n==1 和 n = = 2 n == 2 n==2),可能导致逻辑混乱。
- 对初学者而言,公式的隐式逻辑不够直观。
改进实现:显式处理特殊情况
以下代码改进了特殊情况的处理:
#include <iostream>
using namespace std;int main() {int a1, a2, n;cin >> a1 >> a2 >> n;if (n == 1)cout << a1 << endl;else if (n == 2)cout << a2 << endl;elsecout << a2 + (n - 2) * (a2 - a1) << endl;return 0;
}
改进点分析
-
特殊情况处理:
- n = = 1 n == 1 n==1 时输出 a 1 a_1 a1。
- n = = 2 n == 2 n==2 时输出 a 2 a_2 a2。
-
一般情况处理:
- 使用通项公式计算第 n n n 项。
优点与不足
- 优点:
- 逻辑更加清晰,适合扩展和调试。
- 不足:
- 存在一定的重复代码。
💯代码优化与封装
为进一步提升代码的复用性与可维护性,我们可以将核心逻辑封装为函数:
封装代码
#include <iostream>
using namespace std;// 计算等差数列的第 n 项
int calculateTerm(int a1, int a2, int n) {if (n == 1)return a1;else if (n == 2)return a2;elsereturn a2 + (n - 2) * (a2 - a1);
}int main() {int a1, a2, n;cin >> a1 >> a2 >> n;cout << calculateTerm(a1, a2, n) << endl;return 0;
}
优化点说明
-
逻辑模块化:
- 核心逻辑被独立为
calculateTerm
函数,使主程序简洁明了。
- 核心逻辑被独立为
-
增强可读性:
- 函数命名直观,便于理解其功能。
-
便于扩展:
- 若需增加输入验证或边界处理,可直接在函数中实现。
💯实用提示与总结
提示 1:边界条件的重要性
- 在实现时,应显式处理边界情况(如 n = = 1 n == 1 n==1 和 n = = 2 n == 2 n==2)。
- 对异常输入(如 n ≤ 0 n \leq 0 n≤0)进行适当的错误提示。
提示 2:公式的灵活应用
- 根据不同场景,选择从 a 1 a_1 a1 或 a 2 a_2 a2 出发的通项公式,可以优化计算。
提示 3:逐步验证结果
- 对公式的每一步代入进行验证,确保逻辑严谨。
提示 4:代码调试策略
- 利用断点调试工具,逐步检查变量值与计算结果。
💯小结
通过本文的分析与优化,我们明确了以下要点:
- 公式掌握是解题核心:
- 等差数列的通项公式及其变形是解决此类问题的基础。
- 特殊情况处理提升代码健壮性:
- 显式处理边界条件可以避免潜在逻辑错误。
- 封装与模块化设计增强代码质量:
- 将逻辑独立为函数,提升了代码的可读性、复用性与维护性。
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