Alogrithm：骑士走棋盘

1. 说明

骑士旅游（Knight's tour）在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意，它什么时候被提出已不可考，骑士的走法为西洋棋的走法，骑士可以由任一个位置出发，它要如何走完所有的位置？

2. 解法

骑士旅游（Knight's Tour）问题是一个经典的图算法问题，目标是在一个 N×N 的棋盘上，让西洋棋的骑士从任意一个位置出发，访问每个棋盘格子一次且仅一次。此问题可以通过递归回溯法解决，也可以优化为 Warnsdorff’s Rule 的贪心算法。

2.1 骑士的移动规则

骑士的移动方式为 “L” 形：

• 横向移动两格，然后纵向移动一格。
• 或者纵向移动两格，然后横向移动一格。

每个位置最多有 8 种可能的移动方向，具体视棋盘边界而定。

2.2 骑士旅游的解法

2.2.1 递归回溯法

递归回溯法尝试从起始位置依次探索每个可能的移动方向，如果某条路径可以完成骑士旅游，则返回解；否则回溯，尝试其他路径。

2.2.2 C 语言实现

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>#define N 8// 棋盘的 8 个可能移动方向
int rowMove[8] = {2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2};
int colMove[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};// 打印棋盘
void printSolution(int board[N][N]) {for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {printf("%2d ", board[i][j]);}printf("\n");}
}// 检查骑士是否可以移动到 (x, y)
bool isSafe(int x, int y, int board[N][N]) {return (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && board[x][y] == -1);
}// 递归回溯求解骑士旅游问题
bool solveKnightTourUtil(int x, int y, int moveCount, int board[N][N]) {if (moveCount == N * N) {return true; // 所有格子都已访问}for (int i = 0; i < 8; i++) {int nextX = x + rowMove[i];int nextY = y + colMove[i];if (isSafe(nextX, nextY, board)) {board[nextX][nextY] = moveCount; // 标记为已访问if (solveKnightTourUtil(nextX, nextY, moveCount + 1, board)) {return true; // 如果找到解，直接返回}board[nextX][nextY] = -1; // 回溯}}return false; // 无法找到解
}// 骑士旅游问题的主函数
bool solveKnightTour() {int board[N][N];// 初始化棋盘为 -1（未访问）for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {board[i][j] = -1;}}// 骑士从棋盘的左上角 (0, 0) 出发board[0][0] = 0;// 如果找到解，打印棋盘；否则返回无解if (solveKnightTourUtil(0, 0, 1, board)) {printSolution(board);return true;} else {printf("No solution exists\n");return false;}
}int main() {solveKnightTour();return 0;
}

2.2.3 代码解释

• 移动方向数组：
  • rowMove 和 colMove 数组定义了骑士的 8 种移动方式。

• isSafe 函数：
  • 判断骑士是否可以移动到新的位置 (x, y)，确保其在棋盘范围内且未访问过。

• 递归函数 solveKnightTourUtil：
  • 从当前棋盘位置 (x, y) 出发，尝试所有可能的 8 个方向。
  • 如果移动后所有棋盘格都被访问，则返回解。
  • 否则回溯，撤销当前移动。

• solveKnightTour 函数：
  • 初始化棋盘，将骑士放置在起始位置 (0, 0)。
  • 调用递归回溯函数寻找解。

• 打印棋盘：
  • 解的结果以棋盘的形式打印，其中数字表示骑士访问每个格子的顺序。

2.2.4 样例输出

对于 8×8 的棋盘，可能的输出如下（路径可能因算法不同而不同）：

 0 59 38 33 30 17  8 63 
37 34 31 60  9 62 29 16 
58  1 36 39 32 27 18  7 
35 48 41 26 61 10 15 28 
42 57  2 49 40 23  6 19 
47 50 45 54 25 20 11 14 
56 43 52  3 22 13 24  5 
51 46 55 44 53  4 21 12

 

2.2.5 关键点

• 回溯：
  • 尝试所有可能的路径，如果失败则撤销上一步的操作。

• 时间复杂度：
  • 理论上，递归回溯法的时间复杂度为 O(8^n)，其中 n 是棋盘的格子数（最坏情况下）。
  • 实际运行时间受剪枝和优化策略影响。

• Warnsdorff’s Rule（优化方法）：

  • 骑士优先选择移动选项最少的路径，从而降低回溯的频率，极大地优化求解效率。