概率论得学习和整理27：关于离散的数组 随机变量数组的均值，方差的求法3种公式，思考和细节。

目录

1 例子1：最典型的，最简单的数组的均值，方差的求法

2 例子1的问题：例子1只是1个特例，而不是普遍情况。

2.1 例子1各种默认假设，导致了求均值和方差的特殊性，特别简单。

2.2 我觉得 加权平均值公式，比平均值的原始公式Σxi/n 更为普适性

2.3 后面引入随机变量，更是解决了部分 无穷数组 求均值，方差的问题 

2.4 学习顺序的错位

2.3 学习内容的缺失

3 对例子1更一般的均值求法：加权平均值的求法

4 用加权法求会不会多此一举？

5  例子2：对于非等概率的数组，用加权法求均值和方差

（例子1毕竟是特例，不如加权求法更普适性）

5.0 非等概率的数组

5.1 针对非等权重的数组，求均值

5.2 针对非等权重的数组，求方差，就必须用权重了

6 从一般性的数组，再到随机变量数组

6.1 什么是随机变量数组

6.2 随机变量的均值计算，均值=数学期望

6.3 随机变量的方差计算

7.4 VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2特殊公式的含义，别用错了

7 例子3: 计算随机变量数组的均值和方差

7.1 丢1次骰子的随机变量和对应概率/权重

7.2 丢2次骰子的随机变量和对应概率/权重

7.3 这2个随机变量的均值，方差的计算

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1 例子1：最典型的，最简单的数组的均值，方差的求法

• 对象：一个数组
• 均值：Average=ΣXi*/N = sum/ count
• 离差：(Xi-A)           # 离差，比较的是每个数列里的值与特定值如均值的差！距离差！
• 离差和：Σ(Xi-A)
• 离差和：Σ(Xi-A)
• 离差平方和：Σ(Xi-A)^2
• 方差：Σ(Xi-A)^2/N

具体到这个例子里

• Average=21/6=3.5
• Var= δ^2=2.917

2 例子1的问题：例子1只是1个特例，而不是普遍情况。

2.1 例子1各种默认假设，导致了求均值和方差的特殊性，特别简单。

• 数组1,2,3,4,5,6 
• 特殊性1：只有6个数
• 特殊性2：默认等概率分布
• 特殊性3：求均值，没引入权重概念，只是直接 /n, 默认了等权重
• 特殊性4：求方差，也是直接用的/n, 默认了等权重

2.2 我觉得 加权平均值公式，比平均值的原始公式Σxi/n 更为普适性

我觉得 加权平均值，比  Σxi/n 更为普适性

特殊性3：求均值，没引入权重概念，只是直接 /n, 默认了等权重

这个地方我需要详细解释一下

比如1个数组，

1,2,3,4,5,6 ....100, 理论上，全部相加 Σxi/n 也没错，是最底层的计算均值思路和公式

但是

很多时候，我们的数组里，有多个数是重复出现的，

1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,...5,6,100  （可能远大于100）

我们可能需要统计频度数， 频度=权重

从而用加权平均值的计算方法

比如 1*w1+2w2+.....6*w3+100*w100

所以我觉得，加权平均数，是比这种 等权重平均数更一般的情况

即使是1,2,3,4,5,6 ....100, 理论上，全部相加 Σxi/n 也没错 ，也可以强行认为他们的权重相等都是1/n，所以我觉得 加权平均值，比  Σxi/n 更为普适性

2.3 后面引入随机变量，更是解决了部分 无穷数组 求均值，方差的问题 

另外往下引申一下

为什么要有随机变量，那也是因为数组除了重复，有点乱，还可能无穷。对于无穷数组其实不好计算。但是如果从概率的思路，把概率当成权重，其实可以计算无穷数组。

所以，我觉得 随机变量数组---对比 普通数组，是可以部分解决无穷数组的问题的！

即使是一个无穷数组，只要可以知道每个 具体数对于的概率，可以计算均值，方差等！这样就用概率，绕过了无穷计算这个问题！

2.4 学习顺序的错位

• 其实，我们应该先学习一般规律，再学习
• 也许教小学生可以这么教，先用特殊好懂的入门。但是即使这样，也应该把一般性的情况要讲，至少明白，这个东西是有很大局限性的。

2.3 学习内容的缺失

• 更不好的是，完全不学，不了解，一般化的均值，方差的求法
• 如果只会求这种 硬来的公式
• 完全不理解 加权平均值的思路，遇到有频度的数据，就无法处理。
• 甚至后面也无法理解，随机变量的均值的求法。

3 对例子1更一般的均值求法：加权平均值的求法

方法1:  用原始公式求

• 定义公式求均值：ΣXi / N
• 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N

方法2：用加权法求

• 加权法求均值：ΣXi *Wi
• 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi

可以看到，两种方法的求得均值，方差都相等。

4 用加权法求会不会多此一举？

不会，看下面的例子

5  例子2：对于非等概率的数组，用加权法求均值和方差

（例子1毕竟是特例，不如加权求法更普适性）

5.0 非等概率的数组

• 还是一个普通数组，但是是 1,1,3,4,5,6 
• 其中 1出现2次，没有2
• 可以转化为频度数组，1,3,4,5,6 对应频度分别是2,1,1,1,1

5.1 针对非等权重的数组，求均值

方法1:  用原始公式求

• 定义公式求均值：ΣXi / N

方法2：用加权法求

• 加权法求均值：ΣXi *Wi

都好用

比如1的频度为8，就相当于是8个1，即1,1,1,1,1,1,1,1

5.2 针对非等权重的数组，求方差，就必须用权重了

方法1:  用原始公式求

• 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N   这样是错误的

方法2：用加权法求

• 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi

只能用加权法求方差了

6 从一般性的数组，再到随机变量数组

6.1 什么是随机变量数组

随机变量数组，就是 频度=权重=概率的，一个特殊数组

随机变量数组，可以应对部分无穷的数组的计算

6.2 随机变量的均值计算，均值=数学期望

方法1:  用原始公式求

• 定义公式求均值：ΣXi / N

方法2：用加权法求

• 加权法求均值：ΣXi *Wi
• 随机变量的数学期望 =均值   ΣXi *Wi =ΣXi *Pi

6.3 随机变量的方差计算

方法1:  用原始公式求（错误，不能这么求）

• 定义公式求方差：Σ(Xi -均值)^2 / N  ，没办法这么求

方法2：用加权法求

• 加权法求方差：Σ(Xi -均值)^2 *Wi
• 实际上，因为Wi =Pi
• 加权法求方差, 就是随机变量的均值公式：Σ(Xi -均值)^2 *Wi =Σ(Xi -均值)^2 *Pi
• 公式继续变形
• ：Σ(Xi -均值)^2 *Wi =Σ(Xi -均值)^2 *Pi = E((Xi -均值)^2)= E((Xi -E(X))^2)

方法3：用2个随机变量数组的均值的差的一个变形公式

• 随机变量的方差：VAR=Σ(Xi -均值)^2 *Pi  （形式上ΣYi*Pi =E(Y)）
• 随机变量的方差：VAR=E((Xi -E(X))^2)
• 随机变量的方差：VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2
• 这个可以推导处理出来的

7.4 VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2特殊公式的含义，别用错了

核心意义： 用均值可以计算方差！

知道均值了就能知道方差！

核心意义，用2个数组的均值，可以计算1个数组的方差！

• 随机变量的方差：VAR=E(Xi^2) - E(Xi)^2
• step1: 先生成1个新的随机变量数组，Xi^2
• step2: 计算E(Xi^2)
• step3: 用老的xi数组，计算E(X) ，再计算E(X)^2
• step4: 两者相减=方差， VAR=E(Xi^2)- E(X)^2

7 例子3: 计算随机变量数组的均值和方差

7.1 丢1次骰子的随机变量和对应概率/权重

7.2 丢2次骰子的随机变量和对应概率/权重

7.3 这2个随机变量的均值，方差的计算