【机器学习】梯度下降

1. 梯度下降概念

• 梯度：Loss 对参数在某一点的偏微分，函数沿梯度的方向具有最大的变化率
• 梯度下降：从某点出发，计算该点梯度，以一定的学习率沿着该梯度的反方向移动，直到梯度接近 0
• 公式：$w_{t+1}=w_t-\eta \frac{dL}{dw}$

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2. 梯度下降的技巧

2.1 动态设置学习率

• 原理：离终端越远，学习率越大；离终点越近，学习率越小。
• 公式：${\eta }_t=\frac{\eta }{\sqrt{t}}$
  其中，t 是迭代次数。

2.2 Adagrad调整梯度

• 原理：

  • 梯度大的时候，调正的步伐不一定要大，要综合考虑到二阶导数的影响。
  • 通过参数的历史信息来调整学习率。

• 使用 Adagrad 方法更新参数的公式：

  • $\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}=\frac{\eta }{\sqrt{{\sum }_{i=1}^t(g^i{)}^2}}$
  • $w^{t+1}=w^t-\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}{g}^t$

  其中：${\sigma }^t$ 是梯度平方的累加和（即历史梯度的平方和的平方根）。

• 总结：化简后，分子是一阶导数，分母其实是反应二阶导数的影响

2.3 随机梯度下降（SGD）

• 概念：不考虑所有样本，每次随机选取某个或某些样本点来做梯度下降更新参数。
• 作用：
  • 训练更迅速，结果也不会太差。
  • 可能受到某些样本的影响，导致不精确。

2.4 特征缩放

• 概念：将不同的输入特征统一缩放到相同的范围或分布。

特征归一化

• 公式：$x^{\prime }=\frac{x-\min (x)}{\max (x)-\min (x)}$
• 将数据统一到特定的范围，避免某些极端数据的影响。

特征标准化

• 公式：$x^{\prime }=\frac{x-\mu }{\sigma }$
  其中：

  • $\mu$ 是特征的均值。
  • $\sigma$ 是特征的标准差。

• 效果：

  • 数据更符合正态分布，处理后的特征均值为 0，标准差为 1。
  • 减少特征间方差的差异，帮助加速收敛。

特征缩放的优点

• 未处理之前：

  • Loss 是一个椭圆，每次更新沿着等高线（梯度）方向走，不是往圆心（最低点）走。
  • 如果不使用 Adagrad，可能很难得到好的结果。

• 处理之后：

  • Loss 是一个圆，每次更新都往圆心（最低点）走，容易训练。
  • 有助于模型训练和加快收敛速度。

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3. 梯度下降理论基础

泰勒级数近似

• 理论：
  • 移动方向与梯度（偏导）方向相反时，内积最小。
  • 发现附近以 $\theta $ 半径圈的最小值，移动到那里。

使用前提

• Loss function 必须是无限可微的。
• 附近圈小，可以忽略高次项，意味着学习率要足够小。

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