欧拉-伯努利梁自由波动的频散关系

梁和杆都是一维结构，但是梁的弯曲波比杆的纵波要复杂多。例如即使最简单的欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁的弯曲波也具有频散特征，且当梁的特征尺寸和弯曲波波长满足某个比值时，欧拉-伯努利梁不再适用，需要引入铁摩辛克(Timoshenko)梁模型。

考察某一欧拉-伯努利梁，长度为$L$，截面积为$A$，截面惯性矩$I=r_g^{2}A$，材料密度为$\rho$，弹性模量$E$。以梁的左端为起点，建立直角坐标系，$x$轴与梁的中线重合。位于中线随时间$t$变化的横向位移记为$v(x,t)$，则梁的动力学方程为：
$$\rho A\frac{{\partial }^{2}v(x,t)}{\partial t^2}+EI\frac{{\partial }^{4}v(x,t)}{\partial x^4}=0,x\in [0,L],t\in [0,+\infty )(\mathrm{7.4.1})$$

将梁的横向位移表示为复函数的实部：
$$\begin{array}{rl}& v(x,t)=\mathrm{Re}[v_c(x,t)]\\ & v_c(x,t)={\tilde{v}}_c(x)\exp (\mathrm{i}\omega t)\end{array}(\mathrm{7.4.2})$$

式中 $\omega$ 是频率， v ~ c ( x