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高中数学部分基础知识

文章目录

  • 一、集合
  • 二、一元二次方程
  • 三、函数
  • 四、指数函数
  • 五、对数函数
  • 六、三角函数
    • 1、角度和弧度
    • 2、三角函数

高中知识体系丰富,虽然毕业后再也没用过,但是很多数学逻辑还是非常经典的,能够启发我们如何制作逻辑工具去解决现实问题。以下做出部分归纳,后续再添加;

一、集合

  • 单个叫元素,多个元素的整体叫集合,元素和集合之间有:属于关系、不属于关系;集合可以列举或者函数描述
  • 集合之间有子集、真子集(与子集意义区别不大,只是集合A不能等于集合B)、空集(是任何集合的子集)
  • 命题条件,p=>q,p对于q称为充分条件,q对于p称为必要条件;p<=>q,可以相互逆推导,pq称为充要条件
  • 判断量词,∀表示任意一个都满足(类似于every),∃表示存在一个满足条件(类似于some),¬表示命题否定

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二、一元二次方程

  • 比较方程式值a\b的大小,直接相减(a-b),结果可以反应a和b的大小,结果>0则a>b;当然也有相除或者其他转化的比较做法
  • 基本不等式,来源于平方差公式: ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 > = 0 (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2 >=0 (ab)2=a22ab+b2>=0 a 2 + b 2 > = 2 a b a^2 + b^2 >=2ab a2+b2>=2ab;如果a、b同时大于0(条件有些苛刻)则 a + b 2 > = a b 2 \frac{a + b}{2} >= \sqrt[2]{ab} 2a+b>=2ab , a + b 2 \frac{a + b}{2} 2a+b称为算数平均数, a b 2 \sqrt[2]{ab} 2ab 称为几何平均数(没什么印象)
  • 一元二次方程,∆值的推导如下图;二次项和一次项,再凑一部分常量值,组合成平方和放到左侧,右侧放常量的化简式子; Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ=b24ac,∆>0则两个解(因为是平方和),∆=0则一个解, x = − b 2 a x = -\frac{b}{2a} x=2ab;∆<0则无解(违反了平方和大于等于0);注意 x 0 = − b 2 a x_0 = -\frac{b}{2a} x0=2ab是函数图像的对称线,此时取到最大值或者最小值(a>0,该点y值为最小值)极值为: 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac - b^2}{4a} 4a4acb2(把 x 0 x_0 x0带入计算就可以得到)
  • 一元二次不等式,一般左侧为方程式,右侧为0,解集根据a值的正负性、∆值、图像跟x轴的焦点,共同确定解集(集合)

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三、函数

  • y = f ( x ) , x ϵ A y = f(x), x\epsilon A y=f(x),xϵA;对于任意一个x都有唯一的y值对应,则称为集合A到B的函数,定义域为A,值域看实际情况
  • 集合的区间, a < x < b a<x<b a<x<b成为开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) a < = x < = b a<=x<=b a<=x<=b称为闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] a < = x < b a<=x<b a<=x<b称为半开半闭区间 [ a , b ) [a,b) [a,b),a\b称为端点;当然区间也包括 + ∞ +\infty + − ∞ -\infty (当然 − ∞ -\infty 只能写在区间左侧 ( − ∞ , b ) (-\infty,b) (,b),另一个同理)
  • 分段函数,对于现实中复杂问题,往往用分段函数表示; y = { 0 x < 0 1 x = 0 x 2 + 1 x > 0 y=\begin{cases} 0 & x<0 \\ 1 & x=0 \\ x^2+1 & x>0 \end{cases} y= 01x2+1x<0x=0x>0
  • 函数性质,单调性用来表示在一段区间中函数值的递增或递减趋向,这样只要 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2在区间内,就可以判断 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) f(x_1),f(x_2) f(x1)f(x2)的大小;证明单调性时,使用 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) f(x_1)-f(x_2) f(x1)f(x2)通过代数式化简后的结果的正负来判断大小;一般递增函数意味着存在一个最小值(区间左侧端点;最大值也同理)
  • 偶函数, f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(x),函数图像关于y轴对称
  • 奇函数, f ( x ) = − f ( − x ) f(x)=-f(-x) f(x)=f(x),函数图像关于原点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)对称
  • 幂函数, y = x a y=x^a y=xa,a为常量,x为自变量
  • 零点, f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的解被称为零点,对于一元二次方程可以用∆和求根公式去解;对于其他不规则函数,可以尝试判断连续性和单调性,在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] f ( x ) f(x) f(x)连续,并且 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0,那么意味着在 [ a , b ] [a,b] [a,b]之间存在一点c使得 f ( c ) = 0 f(c)=0 f(c)=0,c就是 f ( x ) f(x) f(x)的零点

四、指数函数

  • 指数函数, x n = a x^n=a xn=a,x是a的根,n是根指数,a是被开方数, x = a n x=\sqrt[n]{a} x=na , 所以 a n \sqrt[n]{a} na 被称为根式
  • 分数指数幂,人为规定表示 a n = a 1 n \sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n} na =an1,那么 a m n = ( a 1 n ) m = a m n \sqrt[n]{a^m}=(a^\frac{1}{n})^m=a^\frac{m}{n} nam =(an1)m=anm;这里a一般适用于正数,否则根号里可能出现负值;对于导数来说, 1 a m n = 1 a m n = a − m n \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}}=a^{-\frac{m}{n}} nam 1=anm1=anm,表示根的导数,在该根的分数指数幂次数添加负号
  • 指数函数图像,一般考虑0<a<1或者a>1;注意关键坐标点: ( 0 , 1 ) , ( 1 , a ) (0,1),(1,a) (0,1),(1,a)

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五、对数函数

  • 对数函数, x = log ⁡ a N x=\log_aN x=logaN,x称为对数,a为底数,N为真数;常用对数,10为底用 x = lg ⁡ a N x=\lg_aN x=lgaN,自然数e为底 x = ln ⁡ a N x=\ln_aN x=lnaN(e大概是2.718,来源于复利收益的极限)
  • a同样是被规定a>0,这样N就是正数,那么对数也是正数,关键坐标点 log ⁡ a 1 = 0 , log ⁡ a a = 1 \log_a1=0,\log_aa=1 loga1=0logaa=1
  • 运算规则, log ⁡ a M N = log ⁡ a M + log ⁡ a N \log_aMN=\log_aM+\log_aN logaMN=logaM+logaN log ⁡ a M N = log ⁡ a M − log ⁡ a N \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN logaNM=logaMlogaN n log ⁡ a M = log ⁡ a M n n\log_aM=\log_aM^n nlogaM=logaMn
  • 换底公式, x = log ⁡ a N , = > a x = N = > log ⁡ c a x = log ⁡ c N ; x log ⁡ c a = log ⁡ c N = > x = log ⁡ c N log ⁡ c a = > log ⁡ a N = log ⁡ c N log ⁡ c a x=\log_aN,=>a^x=N=>\log_ca^x=\log_cN;x\log_ca=\log_cN=>x=\frac{\log_cN}{\log_ca}\ =>\ \log_aN=\frac{\log_cN}{\log_ca} x=logaN=>ax=N=>logcax=logcNxlogca=logcN=>x=logcalogcN => logaN=logcalogcN(acN都大于0)
  • 反函数, x = log ⁡ a N x=\log_aN x=logaN N = a x N=a^x N=ax互为反函数,定义域和值域互反,底数相同

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六、三角函数

1、角度和弧度

  • 从圆心O出发,顺时针旋转是负角,逆时针旋转是正角,没有旋转则是零角;若α为任意角,任意与α终边相同的角集合可以表示为: S = { β ∣ β = α + k ∗ 36 0 ∘ , k ϵ z } S=\{β|β=α+k*360^\circ,k\epsilon z\} S={ββ=α+k360,kϵz};一度的角等于周角的 1 360 \frac{1}{360} 3601
  • 弧度;π的出现,解决了圆周长、面积的计算,周长公式 l = 2 π ∗ r l=2\pi*r l=2πr;人为规定,周长长度为r的一段弧长对应的弧度是1弧度(1rad),那么圆周总弧长就是2π(凑整了,方便计算);如果弧长为l、半径为r,可以得到对应的弧度为 α = l r ( r a d ) α=\frac{l}{r}(rad) α=rl(rad);遇到弧度,注意有没有弧长这个条件,弧度来源于弧长;
  • 角度和弧度计算, 36 0 ∘ = 2 π ( r a d ) 360^\circ=2\pi(rad) 360=2π(rad), 那么 1 ∘ = 1 180 π ( r a d ) ≈ 0.017 ( r a d ) 1^\circ=\frac{1}{180}\pi(rad)\approx0.017(rad) 1=1801π(rad)0.017(rad), 同理 1 ( r a d ) = 180 π ≈ 57. 3 ∘ 1(rad)=\frac{180}{\pi}\approx57.3^\circ 1(rad)=π18057.3
  • 扇形, l = α ∗ r l=α*r l=αr(来源于定义), l = 2 π r ∗ n 360 = n π r 180 ⇒ α = n π 180 ⇒ α ∗ r 2 2 = n π r 2 360 = S l=2πr*\frac{n}{360}=\frac{nπr}{180}⇒α=\frac{nπ}{180}⇒α*\frac{r^2}{2}=\frac{nπr^2}{360}=S l=2πr360n=180rα=180α2r2=360r2=S ∵ α = l r ∴ S = l r 2 ∵α=\frac{l}{r}∴S=\frac{lr}{2} α=rlS=2lr;这样扇形面积可以用弧度表示: S 扇 = α r 2 2 , S 扇 = l r 2 S_扇=\frac{αr^2}{2},S_扇=\frac{lr}{2} S=2αr2S=2lr
  • 常见弧度, 1 6 π = 3 0 ∘ , 1 3 π = 6 0 ∘ , 1 4 π = 4 5 ∘ , 1 2 π = 9 0 ∘ , 2 3 π = 12 0 ∘ , 3 4 π = 13 5 ∘ , π = 18 0 ∘ , \frac{1}{6}π=30^\circ,\frac{1}{3}π=60^\circ,\frac{1}{4}π=45^\circ,\frac{1}{2}π=90^\circ,\frac{2}{3}π=120^\circ,\frac{3}{4}π=135^\circ,π=180^\circ, 61π=3031π=6041π=4521π=9032π=12043π=135π=180

2、三角函数

  • 在xy直角坐标轴中以原点为圆心O、半径为1画圆,从圆心O逆时针方向发出射线、弧度为α,与圆交于点(x,y),那么: x = cos ⁡ α , y = sin ⁡ α , y x = tan ⁡ α ( x ≠ 0 ) x=\cosα,y=\sinα,\frac{y}{x}=\tanα(x\neq0) x=cosαy=sinαxy=tanα(x=0),可以得到三个函数: y = cos ⁡ x , y = sin ⁡ x , y = tan ⁡ x y=\cos x,y=\sin x,y=\tan x y=cosxy=sinxy=tanx,这样根据弧度,确定坐标点,再根据坐标点计算出函数值
  • 终边相同,三个函数都可以表示为 sin ⁡ x = sin ⁡ ( x + k ∗ 2 π ) , k ϵ z \sin x=\sin (x + k * 2π) ,k\epsilon z sinx=sin(x+k2π),kϵz
  • 正弦和余弦,对于半径为r的圆, ( r ∗ sin ⁡ α ) 2 + ( r ∗ cos ⁡ α ) 2 = r 2 ⇒ sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 (r * \sinα)^2+(r * \cosα)^2=r^2⇒\sin^2α+\cos^2α=1 (rsinα)2+(rcosα)2=r2sin2α+cos2α=1; sin ⁡ α cos ⁡ α = tan ⁡ α \frac{\sinα}{\cosα}=\tanα cosαsinα=tanα

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