Understanding the Lomb–Scargle Periodogram

• 本文目的：了解Lomb–Scargle Periodogram的原理 （用来估算不均匀采样数据的周期）
• 参考文献Understanding the Lomb–Scargle Periodogram思路：
  连续傅里叶变换 --> 离散傅里叶变换（均匀采样–> Classifical periodogram (即Schuster periodogram，均匀采样） --> Lomb–Scargle Periodogram 变换（非均匀采样）

1. Introduction

1. 最小平方频谱分析法

• 最小平方频谱分析法（英语：Least-squares spectral analysis）是一种利用最小平方法寻找适配于资料点之最佳正弦曲线，以估算频谱的方法。

• 其数学原理与科学界中最常用的傅立叶分析相似[1][2]。一般而言，傅立叶分析会将间隔较长之讯号的长周期噪声放大，而最小平方频谱分析法则解决了这个问题[3]。

• 最小平方频谱分析法也称为凡尼切克法（Vaníček method）[4]、隆布法（Lomb method）[3][5]或隆布—史卡构法（Lomb–Scargle method）[2][6][7]，分别取名自对其有所贡献的佩特·凡尼切克、尼可拉斯·隆布（Nicholas R. Lomb）[8]以及杰佛瑞·史卡构（Jeffrey D. Scargle）[9]。此外，麦可·科恩伯格（Michael Korenberg）、史考特·陈（Scott Chen）以及大卫·多诺霍等人也曾开发出与之关系密切的其它方法。

2. Lomb–Scargle method

• 目的：估算不均匀采样数据的周期
• time and phase ?? 时间和相位

2. Background: The continuous Fourier Transform

1. 傅里叶对（Fourier pair）

• 傅里叶对（Fourier pair）是指在傅里叶变换中，一组时间域信号与其对应的频率域信号之间的关系。傅里叶变换提供了一种将信号从时间域转换到频率域的方法，使我们能够分析信号的频率成分

• More quantitatively, (a function with a characteristic scale T) will in general have (a Fourier transform with a characteristic scale of 1/T.)

2. 功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）

• 功率谱密度（Power Spectral Density，PSD），也会简写为power sectrum。 是描述信号在频域中分布的一个重要概念。它表示单位频率范围内信号的功率。具体来说，PSD提供了信号在不同频率上的功率分布情况，常用于分析信号的频率特性。

• 作用: quantify the contribtuion of each frequency

• 主要特点
  单位：PSD的单位通常是功率单位（如瓦特）与频率单位（如赫兹）的比值，例如瓦特/赫兹（W/Hz）。
  计算方式：
  对于离散信号，PSD可以通过傅里叶变换得到。
  常见的计算方法包括使用Welch方法、周期图法等。
  

3. The Convolution Theorem

• 卷积用途：卷积可以看作是将一个函数 "滑过 "另一个函数的操作，每一步都对乘积进行积分。这种操作通常用于平滑函数。

• 傅里叶变换中的卷积定理（Convolution Theorem）是信号处理和系统分析中的一个重要理论。它描述了在时域中进行卷积运算与在频域中进行乘法运算之间的关系。

• 卷积运算在时域中是一个复杂的积分运算，而在频域中则变成了简单的乘法运算。这意味着，如果我们能够计算信号的傅里叶变换，我们就可以通过简单的乘法来求解它们的卷积，从而大大简化计算过程。
  

3. Window Functions: From Idealized to Real-world Signals

3.1. Effect of a Rectangular Window

• 由于窗口宽度与其变换宽度之间存在反比关系（More quantitatively, a function with a characteristic scale T will in general have a Fourier transform with a characteristic scale of 1/T. ），因此，观测窗口越宽，观测到的傅立叶变换每个峰值的扩散就越小。

3.2. The Dirac Comb and the Discrete Fourier Transform

• 在信号处理的背景下，当一个连续信号以几乎瞬时的方式在固定间隔进行采样时，所使用的窗口函数通常被称为狄拉克梳（Dirac comb）。这一过程可以被视为真实信号与一个狄拉克梳进行逐点乘积，从而实现采样。

3.2.1. The Nyquist Limit

This implies that if we have a regularly sampled function with a sampling rate of f0 = 1/T, we can only fully recover the frequency information if the signal is band limited between frequencies ±f0/2. This is one way to motivate the famous Nyquist sampling limit, which approaches the question from the other direction and states that to fully represent the frequency content of a “band-limited signal” whose Fourier transform is zero outside the range ±B, we must sample the data with a rate of at least fNy = 2B

3.2.2. The Discrete Fourier Transform

• 为什么从连续到离散？When a continuous function is sampled at regular intervals, the delta functions in the Dirac comb window serve to collapse the Fourier integral into a Fourier sum, and in this manner we can arrive at the common form of the discrete Fourier transform.
  这里的离散主要指window是连续还是离散的？
  

3.3. The Classical Periodogram

4. Nonuniform Sampling

（1）傅立叶峰值的位置和高度与观测间隔有关，因此观测时间的随机化会导致傅立叶峰值位置和高度的随机化 （换句话说，非结构化的观测间隔会直接导致窗口变换中出现非结构化的频率峰）。 这种非结构化窗口变换与真实信号的傅立叶变换相卷积后，就会产生反映相同随机噪声的观测傅立叶变换。

Figure 9: Randomization of observation times (left panel，second row不同的间隔T) leads to Randomization of Fourier peak locations and heights s (left panel，final row)

（2）Sampling the signal more densely might alleviate these problems

Figure 10: 提高Randomization of observation times (left panel，second row不同的间隔T) leads to higher performance (left panel，final row不同的间隔T)

4.1.1. Incorrect Limits in the Literature

4.1.2. The Nonuniform Nyquist Limit

4.1.3. Frequency Limit due to Windowing

• 视窗极限 1/(2δt) 与奈奎斯特极限截然不同：奈奎斯特极限是指所有信号都被混叠到奈奎斯特范围内的频率；视窗极限是指所有信号都被衰减为零的频率。

4.2. Semistructured Observing Windows

• Two typical window functions derived from real-world observations: one ground-based (LINEAR) and one space-based (Kepler)
  

5. From Classical to Lomb–Scargle Periodograms

1. 不同点

• uniform data: 均匀采样是指在固定的时间间隔或空间分布中，以相同的间隔获取样本数据

• nonunifrom data: 非均匀采样是指在不规则的时间间隔或空间分布中进行样本数据获取。采样点之间的时间间隔可能是不相等的，通常由于外部因素（如天气变化、设备限制等）导致。

• Classical Periodogram （Schuster periodogram）: uniform data

• Lomb–Scargle Periodograms: nonunifrom data

2. 相同点

6. The Least-squares Periodogram and Its Extensions

7. Practical Considerations When Using Lomb–Scargle Periodograms

7.1. Choosing a Frequency Grid

• There are two important considerations: the frequency limits and the grid spacing.

• More quantitatively, (a function with a characteristic scale T) will in general have (a Fourier transform with a characteristic scale of 1/T.)
  

Reference

[1] VanderPlas J T. Understanding the lomb–scargle periodogram[J]. The Astrophysical Journal Supplement Series, 2018, 236(1): 16.