非一般的小数：小数的概念新解、小数分类、浮点数的存储

一、小数的概念

这还用解释吗？小学三年级就开始学，你当我是吃干饭的？
那么，请尝试回答以下几个问题：

• 所有的分数都是小数吗？
• 所有的小数都是分数吗？
• 8.0是不是小数？
• 8是不是小数？
• 整数是不是小数？
• 有理数是不是小数？
• 无理数是不是小数？
• 实数是不是小数？

小数可不是看着那么简单，它实在是“非同一般”的数。
先看看小学课本中的定义：

有点草率哈！也难怪，小学三年级，这样说孩子最容易理解。
再看看百度百科中的定义：

小数，是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。

这里面有两个关键词：实数、表现形式。
“小数，是实数的一种特殊的表现形式”，这句话道出了小数的本质：
(1)小数是数的一种表现形式
什么叫表现形式，就是表现在外面的形式上的东西，它无关本质。好比人的衣服，它并不能真正代表这个人。
好比同样是数字，有罗马数字、阿拉伯数字、中文数字、财务上还有专用的大写数字，它们统统都是数字的表现形式。
因此，说到底，小数只不过是数的一种写法而已。
只要一个数能写成这样的形式：整数部分.小数部分，那么它就是小数。所以说，小数完全是形式化的东西。
(2)只要是实数，都能用小数的形式表现出来
任何实数都能写成小数。
用一张图可以表示出小数与实数范围内其他数的关系：

比如前面说的整数8，可以写成小数8.0、8.00、8.0000。
这里老金要指出一个关于小数的个人观点，不一定对，仅供参考。
老金认为，在表述小数和实数范围内的数之间的关系时，一定要注意用词。比如我们能说“实数可以写成小数”、“整数可以写成小数”，但不能说“实数是小数”、“整数是小数”。
如果说“实数是小数”、“整数是小数”，那数学就要乱套了。
这就好比我们可以说“数字都可以写成阿拉伯数字”，但不能说“数字是阿拉伯数字”。
因为上图中黑色部分都是根据数本身的不同性质进行分类的，只有小数不同，它只和写法有关，和性质无关。因此，小数和图左边那些数是完全不同的数，不能混为一谈。
所以，前面提的那一大堆问题，只有“8.0是不是小数？”这一条是肯定的。
据此，老金认为，我们小学时都学到的一个说法可能是不严谨的：$\pi$是无限不循环小数。
老金认为：严格来讲，我们可以说“$\pi$可以写成无限不循环小数”，但不能说“$\pi$是无限不循环小数”。

二、小数的分类

1．有限小数、无限循环小数、无限不循环小数

按小数点后的数字的性质可分为：
有限小数：小数点后只有有限个数字的小数，如0.5、0.25、1.75等。有限小数都可以表示为两个整数的比（分母不为0）。
无限小数：小数点后有无限多个数字。分为两类：

• 无限循环小数：小数点后的数字序列中，有一部分数字会无限重复。比如0.333…（或写作0.$\overline{3}$）、0.142857142857…（或写作0.$\overline{142857}$）。无限循环小数也可以表示为两个整数的比。
• 无限不循环小数：小数点后的数字序列不会重复，也不会终止。比如π、e（自然对数的底数）、$\sqrt{2}$等。无限不循环小数不能表示为两个整数的比。

2．纯小数、带小数

按整数部分是否为0可分为：
纯小数：整数部分为0的小数。
带小数：整数部分不为0的小数。

3．定点数、浮点数

按小数在计算机中的表示形式可分为：
定点数：指小数点在数中的位置是固定不变的。因为位置固定，所以实际上不需存储小数点。理论上讲，可以约定把小数点放在任何位置，但通常将其放在最后（纯整数：除符号位，所有数都表示整数）或最前（纯小数：除符号位，所有位都表示纯小数）。
浮点数：小数点的位置是不固定的，这使得浮点数可以表示非常大或非常小的数。
浮点数通常使用科学计数法来表示，即 $M\times R^E$，其中 M 是尾数（或有效数字），E 是指数（或阶码），R是进制。
尾数和阶码均为带符号数。尾数的符号表示数的正负，阶码的符号则表明小数点的实际位置。浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。
如二进制小数10011.101，按浮点数形式可表示为1.0011101×2⁴。
其中尾数为+1.0011101，阶码为+4。

三、浮点数的存储

浮点数的存储涉及到补码知识，参见“负数在计算机内的编码”一文。
补码规则如下：

• 正数补码都是其自身。
• 负数的补码是对应正数取反，再+1。

此外，还涉及到另一个概念：移码。
移码，就是对补码的符号位取反。假设用4位二进制数表示，-1的补码为1111，移码为0111；1的补码为0001，移码为1001。
0111在十进制下为7，1001在十进制下为9，相当于给原数加上了8（2³）。
速算规律：n位二进制数的移码相当于加上2^n-1。
在C/C++中，存放浮点数的变量类型为float和double，分别占用32位、64位二进制数，其空间的分配规则如下：

以float类型数据为例，在32位二进制空间中，从左往右：

• 符号位：最高位为符号位，用来表示正负（0为正数、1为负数）。
• 指数位：接下来8位为指数位，用来存储浮点数阶码。只是实际存储的数据并非阶码的二进制值，而是将阶码先转为移码，再减1。也就是说，存入的数据为：阶码+2⁷-1=阶码+127）。
• 尾数位：再之后23位用来表示尾数部分（纯小数）。因为浮点数的尾数都为1.××××，所以可将1和小数点都舍去，只存储小数点后边的部分。

例如，十进制数19.625，若以float类型存储，计算过程如下：
①浮点数：19.625转换为二进制数为10011.101，浮点数表示为1.0011101×2⁴。
②符号位：正数，所以符号位为0。
③阶码位：阶码为+4，8位二进制对应存储数据为：阶码+127=4+127=131=10000011B。
④尾数位：尾数为1.0011101，舍去前面的1和小数点，只存储后面的0011101。
三个部分合在一起，得到19.625在内存中的存储形式如下：
0　10000011　00111010000000000000000

若以double类型存储，原理不变，只是指数位变为11位，对应的存储数据为：移码+1023（2¹⁰-1）。
如十进制数2.5，若以double类型存储，计算过程如下：
①浮点数：2.5转换为二进制为10.1，浮点表示为1.01×2¹。
②符号位：正数，符号位为0。
③阶码位：阶码为+1，11位指数位的移码偏移为1023，1+1023=1024=10000000000B。
④尾数位：尾数为1.01，舍去前面的1和小数点，存储为01（之后50个0）。
合在一起，得到2.5在内存中的存储形式如下：
0　10000000000　01（之后50个0）