数据结构二叉树-C语言

1.树

1.1树的概念与结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
•有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
•除根结点外，其余结点被分为M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一颗结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，树是递归定义的。

如图1所示：

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

非树形结构：

•子树是不相交的（如果存在相交就是图了）
•除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
•一颗N个结点的树有N-1条边

1.2树的相关术语

根据图1：

夫结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的夫结点；如图1A是B的夫结点。

子结点/孩子结点：一个结点含有子树的根节点称为该结点的子结点；如图1B是A的孩子结点。

结点的度：一个结点有几个孩子，他的度就是多少；比如A的度为2，D的度为1.

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如图1，最大的度为2

叶子结点/终端结点：度为0的结点称为叶节点；如图1，H、E、F、G为叶子结点。

分支结点/非终端结点：度不为0的结点；如图1中的D、B、C为分支结点。

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点（亲兄弟）；如图1中的B和C是兄弟结点。

结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，依次类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如图1：树的高度为4.

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如图1：A是所有结点的祖先。

路径：一条从树中任意结点出发，沿父节点-子结点连接，达到任意结点的序列；比如A到H的路径为A-B-D-H，从A到F的路径为A-C-F。

子孙：以某结点为根的子树中任一结点的子孙。如图1：所有结点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）课互不相交的树称为森林。

1.3树的表示

既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。
使用孩子兄弟表示法。

1.4树形结构实际运用场景

文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式，它利用树形结构来组织和管理文件和文件夹。在文件系统中，树结构被广泛应用，它通过夫结点和子结点之间的关系来表示不同层级的文件和文件夹之间的关联。

2.二叉树

2.1概念与结构

在树结构中，我们最常用的就是二叉树，一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两课别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空。

从图上可以看出二叉树具有以下特点：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，依序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的。

2.2特殊的二叉树

2.2.1满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1,则它就是满二叉树。

2.2.2完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树性质：

根据满二叉树的特点可知：
1）若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)
2）若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.
3）若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=log2（n+1）（log以2为底，n+1为对数）

2.3二叉树存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

2.3.1顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树更适合使用顺序结构存储。


现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.3.2链式结构

二叉树的链式存储结构是值，用链表来表示一颗二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链。

3.实现顺序结构的二叉树

一般使用顺序结构的数组来存储数据，堆是一种特殊的二叉树，具有二叉树的特性的同时，还具备其他的特性。（通过堆来实现）下一期内容写堆

4.实现链式结构二叉树

用链表来表示一颗二叉树，即 用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址，其结构如下：

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;//当前结点的数据域struct BinaryTreeNode* _left;//指向当前结点左孩子struct BinaryTreeNode* _right;//指向当前结点的右孩子
}BTNode;

二叉树的创建方式比较复杂，为了更好的步入到二叉树内容中，手动创造一课链式二叉树

//手动构造树
BTNode* CreateTree()
{BTNode* nodeA = buyNode('A');BTNode* nodeB = buyNode('B');BTNode* nodeC = buyNode('C');BTNode* nodeD = buyNode('D');BTNode* nodeE = buyNode('E');BTNode* nodeF = buyNode('F');nodeA->_left = nodeB;nodeA->_right = nodeC;nodeB->_left = nodeD;nodeC->_left = nodeE;nodeC->_right = nodeF;return nodeA;
}

二叉树分为空树和非空二叉树由根结点、根结点的左孩子、根结点的右孩子组成的。

根结点的左子树和右子树分别又是由子树结点、子树结点的左孩子、子树结点的右孩子组成的，因此二叉树定义是递归式的，后序链式二叉树的操作中基本都是按照该概念实现的。

4.1前中后序遍历

二叉树的操作离不开树的遍历，我们先来看看二叉树的遍历有哪些方式

4.1.1遍历规则

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
1）前序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前

访问顺序为：根结点、左子树、右子树

2）中序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）

访问顺序为：左子树、根结点、右子树

3）后序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后

访问顺序为：左子树、右子树、根结点

4.1.2代码实现

//先序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}printf("%c ", root->_data);BinaryTreePrevOrder(root->_left);BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}//中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}BinaryTreeInOrder(root->_left);printf("%c ", root->_data);BinaryTreeInOrder(root->_right);
}//后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}BinaryTreePostOrder(root->_left);BinaryTreePostOrder(root->_right);printf("%c ", root->_data);
}

图解遍历：
以前序遍历为例：

4.2结点个数以及高度等

头文件：

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);

.c文件

//先序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}printf("%c ", root->_data);BinaryTreePrevOrder(root->_left);BinaryTreePrevOrder(root->_right);
}

先序遍历遵循根左右的原则，使用递归的方法，先将根结点打印出来，在访问结点的左孩子，直到访问到为空，在回到结点，访问结点的右孩子。

//中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}BinaryTreeInOrder(root->_left);printf("%c ", root->_data);BinaryTreeInOrder(root->_right);
}

中序遍历遵循左根右的原则，在进行递归的方式进行遍历左孩子，并将根结点打印访问，再遍历结点的右孩子。

//后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}BinaryTreePostOrder(root->_left);BinaryTreePostOrder(root->_right);printf("%c ", root->_data);
}

如上规律。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;//return直接跳出，return 0是返回的是0.}return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);
}

二叉树结点的个数等=根结点+左孩子的个数+右孩子的个数
通过递归访问将每个结点的左孩子和右孩子加起来，最后就能算出二叉树节点的个数。

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL && root->_right == NULL){return 1;//左节点和右节点都必须满足为空的情况下，直接返回1，说明二叉树中只有根结点，没有其他子结点。}return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}

二叉树中的叶子结点=左孩子的叶子节点+右孩子的叶子结点。

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)//当k等于0的时候就不会进函数了。
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;//如果k=1的时候，就只有根结点，第一层也就只有一个结点。}return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
}

给该函数传入两个参数，一个是根结点，一个是第k层，从根结点开始向下遍历，每遍历一次k就-1，直到k为0时，就不再进函数，直接返回。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->_data = x){return root;}BTNode* leftFind = BinaryTreeFind(root->_left, x);if (leftFind){return root;}BTNode* rightFind = BinaryTreeFind(root->_right, x);if (rightFind){return rightFind;}return NULL;//如果到这里了，就是没找到。
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)//因为需要改变原本的值，所以需要传二级指针
{if (*root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(&((*root)->_left));BinaryTreeDestory(&((*root)->_right));free(*root);*root == NULL;
}