python 代码使用 DeepXDE 库实现了一个求解二维非线性偏微分方程（PDE）的功能

import deepxde as dde
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow as tf# 设置时空计算域
Lx = 1  # x 范围从 0 到 1
Ly = 1  # y 范围从 0 到 1
Lt = 0.05  # t 范围从 0 到 0.05
geom = dde.geometry.Rectangle([0, 0], [Lx, Ly])  # 空间域
timedomain = dde.geometry.TimeDomain(0, Lt)  # 时间域
geomtime = dde.geometry.GeometryXTime(geom, timedomain)# 设置 PDE 方程
def pde(x, y):u = y[:, 0:1]  # 提取 u(x, y, t)u_x = dde.grad.jacobian(y, x, i=0, j=0)  # u 对 x 的一阶导数u_y = dde.grad.jacobian(y, x, i=0, j=1)  # u 对 y 的一阶导数u_t = dde.grad.jacobian(y, x, i=0, j=2)  # u 对 t 的一阶导数# 计算 u 对 x 和 y 的梯度grad_u = tf.concat([u_x, u_y], axis=1)  # 使用 TensorFlow 的 concat 函数拼接张量# 计算 (u^2 - u + 1) * 梯度项term = u ** 2 - u + 1  # 计算 (u^2 - u + 1)A = term * grad_u  # 乘以梯度# 计算散度：对 (A) 进行求导，即计算 (A_x + A_y)A_x = dde.grad.jacobian(A, x, i=0, j=0)  # A 对 x 的导数A_y = dde.grad.jacobian(A, x, i=0, j=1)  # A 对 y 的导数# 散度 = A_x + A_ydiv_A = A_x + A_y# 返回 PDE 方程 u_t - div((u^2 - u + 1) * grad(u)) = 0return u_t - div_A# 边界条件：u = 0，在边界上
def boundary(x, on_boundary):return on_boundarybc = dde.icbc.DirichletBC(geomtime, lambda x: 0, boundary, component=0)# 初始条件：u = sin(pi * x) * sin(pi * y)
def ic_func(x):return np.sin(np.pi * x[:, 0:1]) * np.sin(np.pi * x[:, 1:2])ic = dde.icbc.IC(geomtime, ic_func, lambda x, on_initial: on_initial, component=0)# 创建数据对象
data = dde.data.TimePDE(geomtime,pde,[bc, ic],num_domain=10000,  # 训练样本数量num_boundary=8000,  # 边界上的训练样本数量num_initial=5000,  # 初始条件上的训练样本数量num_test=10000,  # 测试样本数量
)# 设置神经网络架构
layer_size = [3] + [50] * 3 + [1]  # 输入层（3维：x, y, t），4个隐藏层，每层80个神经元，输出层（u）
activation = "tanh"  # 激活函数
initializer = "Glorot uniform"  # 权重初始化方法net = dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)# 创建模型并训练
model = dde.Model(data, net)
model.compile("adam", lr=1e-3)  # 使用 Adam 优化器，学习率为 1e-3
losshistory, train_state = model.train(iterations=3000, display_every=200)# 保存训练历史和状态
dde.saveplot(losshistory, train_state, issave=False, isplot=True)# 可视化结果，绘制 t=0.05 时刻的 u(x, y)
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, 28), np.linspace(0, 1, 28))
xy = np.vstack((xx.ravel(), yy.ravel())).T
t = np.ones((xy.shape[0], 1)) * 0.05  # 设置 t=0.05
xy_t = np.hstack((xy, t))  # 合并 x, y, tu_pred = model.predict(xy_t)  # 预测 u(x, y, t) 在 t=0.05 时的值
u_pred = u_pred.reshape(xx.shape)  # 重塑为网格形状# 筛选 u >= 0
u_pred = np.maximum(u_pred, 0)# 绘制 u(x, y) 的 3D 图
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(xx, yy, u_pred, cmap="viridis")
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('u(x, y, t=0.05)')
ax.set_title('u(x, y, t=0.05)')plt.show()

这段代码使用 DeepXDE 库实现了一个求解二维非线性偏微分方程（PDE）的功能。以下是对代码功能的详细解释：

1. 设置时空计算域：

   • 定义了空间范围 Lx 和 Ly 分别为 1，时间范围 Lt 为 0.05。
   • 创建了空间域 geom（一个矩形）、时间域 timedomain 以及时空域 geomtime。

2. 设置 PDE 方程：

   • 定义了一个函数 pde 来描述 PDE 方程。
   • 计算了函数 u 对 x、y 和 t 的一阶导数。
   • 计算了 u 的梯度和 (u^2 - u + 1) * 梯度 项。
   • 计算了上述项的散度，并构建了 PDE 方程 u_t - div((u^2 - u + 1) * grad(u)) = 0。

3. 定义边界条件和初始条件：

   • 边界条件：定义了一个函数 boundary 来判断点是否在边界上，并设置边界条件为 u = 0。
   • 初始条件：定义了一个函数 ic_func 来描述初始条件 u = sin(pi * x) * sin(pi * y)。

4. 创建数据对象：

   • 使用 dde.data.TimePDE 创建了一个数据对象 data，包含了 PDE 方程、边界条件和初始条件。
   • 定义了训练样本、边界样本、初始条件样本和测试样本的数量。

5. 设置神经网络架构：

   • 定义了神经网络的层结构，包括输入层（3 维：x、y、t）、4 个隐藏层（每层 50 个神经元）和输出层（1 维：u）。
   • 选择了激活函数 tanh 和权重初始化方法 Glorot uniform。

6. 创建模型并训练：

   • 使用 dde.Model 创建了一个模型，将数据对象和神经网络传入。
   • 使用 Adam 优化器，学习率为 1e-3 对模型进行编译。
   • 训练模型，迭代 3000 次，并每 200 次迭代显示一次训练信息。

7. 保存和可视化结果：

   • 使用 dde.saveplot 保存训练历史和状态，并绘制损失曲线。
   • 在 t = 0.05 时刻，生成网格点 xx 和 yy，并将其与 t 合并为 xy_t。
   • 使用训练好的模型预测 u(x, y, t) 在 t = 0.05 时的值，并重塑为网格形状。
   • 筛选出 u >= 0 的值。
   • 绘制 u(x, y, t = 0.05) 的 3D 图。

综上所述，这段代码实现了使用深度学习方法求解二维非线性 PDE 的功能，并对结果进行了可视化展示。