数学用语中 up to 的含义

1.  问题

在数学用语中，常见到“up to”这种用法， 但这种用法与我们常规情况下的用法不同，常令人困惑。

2.  “等价关系”说明

         已知两个数学对象 a 和 b，以及实数域R，

•       当 a 和 b是通过 R 关联的，即，

•        若 aRb  成立，即，

•        若a 和 b关于R 的等价类是相等的，

则称a和 b 是“equal up to an equivalence relation R(在一个等价关系R 的意义下是相等的)。”

         这种修辞手法主要用于与源于相等性(equality)的表达有关，例如唯一性或计数。例如，“x is unique up to R(x在R 的意义下是唯一的)”意味着所考虑的所有对象 x 在关系 R 的意义下是同一等价类。

         此外，等价关系 R 经常由生成条件或变换相当隐含地指定。例如，语句“an integer's prime factorization is unique up to ordering(整数的素数因数分解在不考虑次序的条件下是唯一的)”是一种简洁的说法，实际上指的是，已知一个整数的任意两个素数因子列表，若其中一个列表可以通过重新排序(置换)而获得另一个列表，则这两个列表关于将这两个列表联系起来的关系 R 而言是等价的。另一个例子是，语句“the solution to an indefinite integral is sin(x), up to addition of a constant(不定积分的解在不考虑常量的情况下是 sin(x)”默认使用了函数之间的等价关系 R，若差 f - g 是常数函数，则等价关系由 fRg 定义，并且意味着解和函数 sin(x) 在该 R 的意义下相等。在图中，“there are 4 partitions up to rotation (在旋转的意义下有 4 个分割)”指集合 P 具有关于 R 的 4 个等价类，如果 b 可以通过旋转从 a 获得，则等价关系由 aRb 定义；每个类的一个代表显示在左下角的图片部分。

说明：

顶部：六边形顶点集中有 20 个分割，每个分区包含一个三元素子集(绿色)和三个单元素子集(无色)。底部：其中，最多有 4 个分割用于旋转，最多有 3 个分割用于旋转和反射。

---------------------------------------------------图---------------------------------------------------

等价关系通常用于忽略(disregard)对象的可能差异，因此，“up to R”可以按非正式理解为“ignoring the same subtleties as R ignores (忽略R所忽略的细微之处)”。在因式分解的例子当中，“up to ordering”指的是“忽略特定的次序(ignoring the particular ordering)”。

    这样的例子还有“up to isomorphism”、“up to permutations”、“up to rotations”、等等。

    在非正式的语境中，数学家通常用词“modulo”(或简单地使用“mod”)(即“模”)来表示相似的目的，例如，“modulo isomorphism(模同构)。”

3.  群论中的例子

    在群论中，我们可以有一个呈现于一个集合X上的群G  ，在这种情况下，X的两个元素“在群行为的意义上(up to the group action)”是等价的——若它们位于同一轨道中。

         另一个典型的例子是表达语句“there are two different groups of order 4 up to isomorphism”，或 “modulo isomorphism, there are two groups of order 4”。这指的是，若我们考虑“等价”同构群，仅存在阶为4的两个等价类。

4.  应该怎么英译汉？

    “up to”本义指“不超过……，至多……”,限定在“某个范围内。” 但在数学中，本来指的是在“某种等价关系的范围内”，也就是说，两个数学对象可以通过这种等价关系互相转化，只不过不容易看出这种等价关系而已。但在翻译的时候，应根据语境翻译为容易理解的语句。

4.1 译为“在忽略/不考虑/除……的情况下”  

例如：

(1) An integer's prime factorization is unique up to ordering.

整数的素数因数分解在不考虑次序的条件下是唯一的。(唯一性也是一种等价关系，一个分解可通过次序的调整变为另一个分解，即在这种性质下它是唯一的。)

(2) The solution to an indefinite integral is sin(x), up to addition of a constant.

不定积分的解在不考虑常量的情况下是 sin(x)。(两个函数之间仅相差一个常量是一种等价关系，一个函数可以通守加减某个常量成为另一个。)

(3) 40 and -40 are equal up to sign.

40 和 -40 在不考虑符号的情况下是相等的。

4.2  译为“在不大于……的范围内”

例如：

(1) The solution is correct up to an error of 0.01.

这个解在误导不超过 0.01的范围内是正确的。

4.3  译为“在……的意义下，关于……，按照……”

(1) There are two different groups of order 4 up to isomorphism.

在同构的意义下，有两个不同的4阶群。(同构是一种等价关系，即在同构这种等价关系的范围内，只有两个不同的4阶群。)

或者译为：

有两个关于/按同构不同的4阶群。

(2) We are interested in surfaces 'up to alteration by a homeomorphism', in other words topologically  equivalent surfaces will be treated as the same space.

我们感兴趣的是“在按同胚变化的意义下”的曲面，换句话说，在拓扑上等价的曲面视为相同的空间。

(3) With this restriction, the fundamental group is independent (up to isomorphism) of the choice of base point, allowing us to refer to the fundamental group of a path connected space and use the notation  .

在这个约束下，基本群与基点的选择无关(在同构的意义下)，允许我们引用路径连通空间的基本群并使用符号  。

(4)  We can replace any ball of dimension 1, up to homeomorphism, by the unit interval I = [0,1].

我们可以用单位区间 I = [0,1] 在同胚的意义下替换一维任意球。

(5) This determinant is of course only determined up to multiplication by a unit of the ring Λ.

当然，这个行列式在乘法的意义下仅取决于环 Λ 的一个单元。