一元函数微积分的几何应用：二维平面光滑曲线的曲率公式

前言

本文将介绍二维平面光滑曲线的曲率定义以及不同形式的曲率及曲率半径公式的推导。

曲率和曲率半径的定义

（关于二维平面光滑曲线的定义以及弧长公式请参考：一元函数定积分的几何应用：二维平面光滑曲线弧长公式的推导）

对一条光滑曲线上$l$上的一个曲线段$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$, 我们用$A$点的切线${\tau }_A$与$B$点的切线${\tau }_B$之间的夹角$\Delta \phi$来刻画这一段曲线的弯曲程度。当$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$的弧长$\Delta s$固定时，若切线的夹角越大，则曲线的弯曲程度越大。因此我们将曲线段$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$的平均曲率定义如下：

$$\begin{array}{c}\overline{K}=\left|\frac{\Delta \phi }{\Delta s}\right|\end{array}$$

平均曲率刻画了曲线段$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$的平均弯曲程度。当$A,B$两点越接近，即$\Delta s$越小，平均曲率则越能精确刻画光滑曲线$l$在$A$点的弯曲程度，因此我们定义在某一个点上的曲率为：

$$\begin{array}{c}K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\left|\frac{\Delta \phi }{\Delta s}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}s}\right|\end{array}$$

若光滑曲线上某一点的曲率不为零，则我们定义该点曲率的倒数为曲线在该点的曲率半径：
$$\begin{array}{c}R=\frac{1}{K}\end{array}$$

曲率计算公式

参数方程形式

设光滑曲线由参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t\in [T_1,T_2]$$
来确定，且$x(t),y(t)$存在二阶导数，则曲线上点的切线斜率为

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}=\tan \phi \end{array}$$

其中$\phi$是切线与$x$轴的夹角。将$\phi$对$t$求导，可以得到：

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\arctan \left(\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\right)=\frac{1}{1+{\left[\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\right]}^2}\cdot \frac{x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{{x^{\prime }}^2(t)}=\frac{x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{{x^{\prime }}^2(t)+{y^{\prime }}^2(t)}\end{array}$$

根据弧长的微分公式我们可以得到

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{{x^{\prime }}^2(t)+{y^{\prime }}^2(t)}\end{array}$$

因此该点的曲率为

$$\begin{array}{c}K=\left|\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}s}\right|=\left|\frac{\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\right|=\frac{\left|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)\right|}{[{x^{\prime }}^2(t)+{y^{\prime }}^2(t){]}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

直角坐标显式方程形式

若曲线由$y=f(x),x\in [a,b]$表示，且$y$存在二阶导数，则曲线上某一点的斜率为

$$\begin{array}{c}\tan \phi =y^{\prime }\end{array}$$

则夹角的微分为

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}\phi =\frac{y^{\prime \prime }}{1+{y^{\prime }}^2}\mathrm{d}x\end{array}$$

弧长的微分为

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}s=\sqrt{1+{y^{\prime }}^2}\mathrm{d}x\end{array}$$

因此相应的曲率计算公式为

$$\begin{array}{c}K=\left|\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}s}\right|=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+{y^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

极坐标形式

假设曲线的极坐标方程为$r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]\subset [0,2\pi ]$，且$r$二阶可导。则点$(r,\theta )$处的直角坐标为
$$\begin{array}{rl}& x(\theta )=r\cos \theta ,y(\theta )=r\sin \theta \\ & x^{\prime }(\theta )=r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta ,y^{\prime }(\theta )=r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta \\ & x^{\prime \prime }(\theta )=r^{\prime \prime }(\theta )\cos \theta -2r^{\prime }\sin \theta -r\cos \theta \\ & y^{\prime \prime }(\theta )=r^{\prime \prime }\sin \theta +2r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta \end{array}$$

将上面的式子全部带入$(7)$式（此时将$\theta$视为参数），化简后就得到了极坐标下的曲率公式：

$$\begin{array}{c}K=\frac{|r^2+2{r^{\prime }}^2-r{r}^{\prime \prime }|}{(r^2+{r^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

向量形式

我们定义二维平面光滑曲线上任意一点的向量为$\mathbf{r}=(x(t),y(t))$，则$(7)$式可以改写成

$$\begin{array}{c}K=\frac{\left|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)\right|}{[{x^{\prime }}^2(t)+{y^{\prime }}^2(t){]}^{\frac{3}{2}}}=\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\end{array}$$

此即向量形式的曲率公式。