2024～2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一）【高三数学】

一、选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

• 1、若 $\frac{5}{z}+2i=1$，则 $z=$
  A. 1-2i
  B. 1+2i
  C. 2-i
  D. 2+i
• 2、已知集合 A = { x ∣ 1 < x < a } A=\left\{ x|1 \lt x \lt a \right\} A={x∣1<x<a}， B = { − 2 , 0 , 1 , 2 } B=\left\{-2,0,1,2\right\} B={−2,0,1,2}，若 $A\cap B=\varphi$，则实数 $a$ 的取值范围是
  A. $a<1$
  B. $a<2$
  C. $a\le 1$
  D. $a\le 2$
• 3、等比数列 { a n } \left\{a_n\right\} {an​} 中，$a_2=1$，设甲：$a_4=3$，乙：$a_6=9$，则甲是乙的
  A. 充分不必要条件
  B. 必要不充分条件
  C. 充要条件
  D. 既不充分也不必要
• 4、函数 $f(x)=\sin x+\sin 2x$ 在区间 $(0,3\pi )$ 上的零点个数
  A. 4
  B. 5
  C. 6
  D. 7
• 5、随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区人数大约每年以11%的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：$\lg 2\approx 0.301$，$\lg 111\approx 2.405$）
  A. 6
  B. 7
  C. 8
  D. 9
• 6、在直角坐标系 $xOy$ 中，满足不等式 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2x<1\\ x^2+y^2+2x\le 1\end{array}$ 的点 $(x,y)$ 表示的区域面积为
  A. $\frac{\pi }{2}-1$
  B. $\pi$
  C. $\pi -1$
  D. $\pi -2$
• 7、若直线 $y=x+a$ 与曲线 $y=\ln (x+b)$ 相切，则 $a^2+b^2$ 的最小值
  A. $\frac{1}{2}$
  B. 1
  C. $\frac{3}{2}$
  D. 2
• 8、已知直线 m 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\frac{\pi }{4}$，若直线 $n\subset \alpha$，直线 $m\subset \beta$，设m与n的夹角为 ${\theta }_1$，$\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角为 ${\theta }_2$，则
  A. ${\theta }_1\ge \frac{\pi }{4},{\theta }_2\ge \frac{\pi }{4}$
  B. ${\theta }_1\ge \frac{\pi }{4},{\theta }_2\le \frac{\pi }{4}$
  C. ${\theta }_1\le \frac{\pi }{4},{\theta }_2\ge \frac{\pi }{4}$
  D. ${\theta }_1\le \frac{\pi }{4},{\theta }_2\le \frac{\pi }{4}$

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二、选择题

本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分。部分选对的得部分分，有选错的得零分。

• 9、有一组成对样本数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdots (x_n,y_n)$，设 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_n$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$，由这组数据得到新成对样本数据 $(x_1-\bar{x},y_1-\bar{y}),(x_2-\bar{x},y_2-\bar{y})\cdots (x_n-\bar{x},y_n-\bar{y})$，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算回归直线，最后计算出残差平方，则
  （注：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$，$a=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$.）
  A. 两组数据的相关系数相同
  B. 两组数据的残差平方和相同
  C. 两条经验回归直线的斜率相同
  D. 两条经验回归直线的截距相同
• 10、在$△ABC$中，$\angle C=45^{\circ }$，$(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{BC}=0$，则下列说法正确的是
  A. $\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$
  B. $\tan A=2$
  C. $\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影向量为$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
  D. 若$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$
• 11、已知定义域为R的函数$f(x)$满足$f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)f(y-1)$，且$f(0)=2,g(x)$为$f(x)的导函数$，则
  A. $f(x)$为偶函数
  B. $g(x)$为周期函数
  C. $\sum _{i=0}^{2025}f(k)=0$
  D. $g(2026)=0$

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三、填空题

• 12、$(1+\sqrt{x}{)}^5+(1-\sqrt{x}{)}^5$ 的展开式中 $x^2$ 的系数是____
• 13、记 $△ABC$ 的内角 $A、B、C$ 的对边分别为 $a、b、c$ 且 $\frac{1}{\tan A}+\frac{2}{\tan B}=\frac{3}{\tan C}$，则 $\frac{c^2}{a^2+2b^2}=$____
• 14、直线 $l$ 过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>0,b>0)$的左焦点F，交C的渐近线于A、B两点，若 $\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FA}$，且 $\left|\overrightarrow{FA}\right|=b$，则C的离心率为____

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四、解答题

• 15、如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积为 $\frac{1}{2}$，侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 是边长为1的正方形，$AB=1$，点D、E分别在线段 $C{B}_1$ 和 $A_1{C}_1$ 上.
  (1) 若D、E分别是 $C{B}_1,A_1{C}_1$ 的中点，求证：$DE\parallel 平面AB{B}_{1}A$；
  (2) 若 $DE\perp CB$，$DE\perp AC$，求 $DE$.

• 16、ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球，甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权。设甲、乙发出ACE球的概率均为$p_0$，记$A_n=$“第n次发出发球的人是甲”。
  (1) 证明：$P(A_{n+1}|A_n)+P(A_{n+1}|\overline{A_n})=1$；
  (2) 若 $P(A_1)=1$，$P(A_2=\frac{9}{20}$，求 $p_0$和$P(A_n)$.

• 17、已知函数 $f(x)=(x+K)e^x$，其中 $K\in R$.
  (1) 当 $k=-1$ 时，讨论关于x的方程$f(x)=a(a\in R)$ 的实根个数；
  (2) 当 $k>-1$ 时，证明：对任意的实数 $x_1,x_2(x_1\ne x_2)$，都有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{e^{x_1}-e^{x_2}}>\frac{x_1+x_2}{2}$.

• 18、已知 $△DEF$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴上，$F(\frac{1}{4},0)$，$\left|\overrightarrow{DF}\right|=\left|\overrightarrow{EF}\right|$，且边 $DE$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上，设 $D$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$.
  (1) 求 $\Gamma$ 的方程；
  (2) 若正 $△ABC$ 的三个顶点都在 $\Gamma$ 上，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $45^{\circ }$，求 $\left|AB\right|$.

• 19、 将 $2N$ 项数列 { a 1 , a 2 , ⋯ , a N , b 1 , b 2 , ⋯ , b N } \left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{N},b_{1},b_{2},\cdots,b_{N}\right\} {a1​,a2​,⋯,aN​,b1​,b2​,⋯,bN​} 重新排序为 { b 1 , a 1 , a 2 , b 2 , ⋯ , b N , a N } \left\{b_{1},a_{1},a_{2},b_{2},\cdots,b_{N},a_{N}\right\} {b1​,a1​,a2​,b2​,⋯,bN​,aN​} 的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以 $b_1$ 为首项，将 $a_i$ 排在 $b_i$ 之后，将 $b_{i+1}$ 排在 $a_i$ 之后，对于数列 $1,2,\cdots ,2N$，将“洗牌”后得到的新数列中数字K的位置定义为 $f(k)$。例如，当 $N=3$ 时，数列 $1,2,3,4,5,6$ 经过一次“洗牌”后变为 $4,1,5,2,6,3$，此时 $f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6,f(4)=1,f(5),f(6)=5$.
  (1) 写出数列 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 经过3次“洗牌”后得到的“新数列”；
  (2) 对于满足 $1\le K\le 2N$ 的任意整数 $k$，求经过一次“洗牌”后 $f(k)$ 的解析式；
  (3) 当 $N=2^{n-1}$（其中 $n\in N^{+}$）时，数列 $(1,2,\cdots ,2N)$ 经过若干次“洗牌”后能否还原为 $(1,2,\cdots ,2N)$ ？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由。

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更新时间记录

• 选择题单选8道录完；「2025.2.7 16:18」
• 选择题多选3道录完；「2025.2.7 18:30」
• 填空题3道录完；「2025.2.7 18:45」
• 解答题4道录完；「2025.2.7 21:42」
• 敲录完毕后看了一遍，发布。「2025.2.7 21:56」