傅里叶公式推导(三)

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周期 2L

周期 $T=2L$ 的傅里叶变换
即
$$f(t)+f(t+2L)$$

x	t
2$\pi$	$2L$

原公式
$$\begin{array}{l}f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos nx+b_n\sin nx]\\ a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x\\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x\end{array}$$

令
$$\begin{gathered} t=\frac{L}{\pi }x \\ x=\frac{\pi }{L}t \\ \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{L} \end{gathered}$$

换元得，（周期T=2L）
$$\begin{array}{l}f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t]\\ a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\mathrm{d}t\\ a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\cos n\omega t\mathrm{d}t\\ b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\sin n\omega t\mathrm{d}t\end{array}$$

周期T

统一周期T的写法如下。
$$\begin{array}{l}f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }[a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t]\\ a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t\\ a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos n\omega t\mathrm{d}t\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin n\omega t\mathrm{d}t\end{array}$$

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—————— 但行好事莫问前程，你若盛开蝴蝶自来