傅里叶变换推导

基本模型

假设在二维直角坐标系中，可以用相互垂直的基向量和表示：

假设：

假设在上的投影为，那么：

所以：

用公式表达：

但是在实际中，基向量和不一定长度都是1，重新推导一下：

假设：

那么：

两边乘以：

分子部分其实就是求在上的投影与的乘积，所以：

带入数据：

大功告成。

结论：

从二维到无限维

二维模型如下：

向量	维度1的投影	维度2的投影
	2	3
	1	0
	0	1

扩展到三维：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影
	c1	c2	c3
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

可以看到，有多少个维度就要有多少个基向量，每个基向量的维度和相等。

扩展到无限维：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影	维度n的投影
	c1	c2	c3	cn
	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

把函数当成无限维向量

把函数的t当成无限维，它的值分布在各自的维度上：

函数

于是：

这里有个容易让人困惑的点：

前面的各个基向量都是这样的：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影	维度n的投影
	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

每个向量只在自己的维度有值，在别的维度为0。

那现在的函数在别的维度上等于0吗？

不一定，但是没错。

首先各个维度的基向量是正交（垂直）的，比如：

这里的函数其实也是正交的：

两边乘以：

在傅里叶变换中：

各个基函数= 

其中是步长的意思，任你选取，n=1,2,...

总的意思就是f(t)可以表示成很多正交的、不同频率（一个频率就是一个维度）的三角函数之和。

可以证明：

与正交，与正交。

于是：

好了，已知了，怎么求？

由前面的公式：

可以推导出：

套用之前两边乘以dt的方法：

带入，：

这便是傅里叶级数了。

其它

各个基函数必须是两两正交的，不然所有推导都是错的。

好多资料说两个函数的正交等于它们的内积：

但是由向量的点积推出来应该是这样才对：

可这样也是不对的，不存在这种操作。在我的推导中用了这个等式，但是我分子分母约掉dt了，所以避开了。