平面与平面相交算法杂谈

1.前言

空间平面方程：

空间两平面如果不平行，那么一定相交于一条空间直线，

空间平面求交有多种方法，本文进行相关讨论。

2.讨论 

可以联立方程组求解，共有3个变量，2个方程，而所求直线有1个变量，直线方程为，

2.1.方法一：联立方程求解

通过如下链接中方法可得到所交直线方程，

analytic geometry - How to calculate the intersection of two planes? - Mathematics Stack Exchangehttps://math.stackexchange.com/questions/475953/how-to-calculate-the-intersection-of-two-planes Planes intersection calculatorhttp://www.ambrnet.com/TrigoCalc/Plan3D/Plane3D_.htm

化为直线参数方程：

 这种方法有其局限性，上述公式的分母可能为0，就需要比较繁杂的处理，如令x=t，重新求解。斯坦福官网中的关于Plane类实现的资料中对于面面相交（plane intersect plane）也没有实现该情况的处理，

bool Plane::PlanePlaneIntersection(const Plane &P1, const Plane &P2, Line3D &L)
{float Denominator = P1.a * P2.b - P1.b * P2.a;if(Denominator == 0.0f){// this case should be handled by switching axes...return false;}L.P0 = Vec3f((P2.d * P1.b - P1.d * P2.b) / Denominator, (P1.d * P2.a - P2.d * P1.a) / Denominator, 0.0f);L.D = Vec3f::Cross(P1.Normal(), P2.Normal());if(L.D.Length() == 0.0f){return false;}L.D = Vec3f::Normalize(L.D);return true;
}

Plane.cpp

2.2.方法二：正交平面辅助求解

三维坐标系中三个正交平面为XOY、YOZ、ZOX平面，只要空间平面不与某正交平面（如XOY平面）平行，那么一定有交线，且线上有一点，其Z坐标为0（如果选用了XOY平面），这样将z=0带入平面方程组，求解，此方法和上述方法一本质上是一样的。在方法一中对应的方式是令z=t。

可参考如下实现，和方法一类似，同样需要一些特殊处理，

空间平面相交的直线的计算及其源码_平面的交线计算原理-CSDN博客

2.3.方法三：构造第三平面

两平面法向叉乘可得交线方向，过某点（如平面1上的点或平面2上的点）以其为法向构造第三平面，三平面交于一点（如果平面1和平面2不平行），求该点作为交线上的点。

可直接套用公式，

Plane-Plane Intersection -- from Wolfram MathWorld

Hessian Normal Form -- from Wolfram MathWorld

Intersects of 3 planes_intersectplanes(plane p1, plane p2, plane p3)-CSDN博客

注意构造的第三平面可以过特定点，这样得到的交线上的点距离该特定点最近。

2.4.方法四：几何法

1. 求plane1上点到plane2的距离；
2. 求2个plane的夹角；
3. 根据夹角求asin得到disExpand；
4. ptOnPlane1沿dirOffset偏移disExpand得到交线上点；

这种方法得到的点距离点ptOnPlane1最近。

此方法对于需要以距离特定点最近的点来表示直线的情况比较实用，毕竟如果直线上的点非常远时，由于浮点存储机制所带来的精度误差会带来负面影响。

3.精度

一般情况下，公式简洁有效，计算逻辑简单，精度就比较高，当然不是绝对的，也与所选参数的情况、运算过程的主动精度损失等有关系，需要根据具体情况进行精度的分析和测试。