数学建模与MATLAB实现：数据拟合全解析

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引言

数据拟合是数学建模与实验分析中的核心任务，旨在通过数学模型逼近实际观测数据，揭示变量间的潜在规律。本文基于最小二乘法的理论框架，结合MATLAB代码实战，系统讲解线性拟合、非线性拟合的实现方法，并通过电阻温度预测、血药浓度分析等案例，帮助读者掌握从数据预处理到模型优化的全流程技能。

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一、拟合基础理论

1. 拟合与插值的区别

• 插值：要求曲线通过所有数据点，适合精确重建已知数据。
• 拟合：不要求曲线经过所有点，旨在反映整体趋势，适合噪声数据或预测。

2. 最小二乘法原理

目标：最小化观测数据与模型预测值的残差平方和。
数学形式：
$$J(a_1,a_2,\dots ,a_m)=\sum _{i=1}^n{\left(y_i-f(x_i)\right)}^2$$
其中 $f(x)=a_1{r}_1(x)+a_2{r}_2(x)+\cdots +a_m{r}_m(x)$ 为拟合函数。

线性最小二乘法：
当 $f(x)$ 是待定系数的线性组合时，可通过解超定方程组 $Ra=y$ 的最小二乘解实现：
$$a=(R^{T}R{)}^{-1}{R}^{T}y$$

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二、MATLAB拟合函数详解

1. 线性拟合：polyfit

功能：多项式拟合，返回多项式系数。
语法：

p = polyfit(x, y, m);   % m为多项式次数
y_fit = polyval(p, x);  % 计算拟合值

示例：电阻-温度关系拟合

x = 0:0.1:1;  
y = [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2];  
p = polyfit(x, y, 2);   % 二次多项式拟合  
y_fit = polyval(p, x);  
plot(x, y, 'ko', x, y_fit, 'r-');  
xlabel('温度'); ylabel('电阻');  

结果：二次多项式 $R(t)=-9.81t^2+20.13t-0.03$ 拟合效果最佳。

2. 非线性拟合：lsqcurvefit

功能：求解非线性最小二乘问题，需自定义模型函数。
语法：

x = lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata);  

示例：血药浓度动力学模型

1. 定义模型函数（保存为 curvefun1.m）：

function f = curvefun1(x, tdata)  f = x(1) + x(2) * exp(-0.02 * x(3) * tdata);  % x(1)=a, x(2)=b, x(3)=k  
end  

2. 拟合与结果：

tdata = 100:100:1000;  
cdata = 1e-3 * [4.54, 4.99, 5.35, 5.65, 5.90, 6.10, 6.26, 6.39, 6.50, 6.59];  
x0 = [0.2, 0.05, 0.05];  
x = lsqcurvefit(@curvefun1, x0, tdata, cdata);  
disp(['a=', num2str(x(1)), ', b=', num2str(x(2)), ', k=', num2str(x(3))]);  

输出：$a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542$，拟合曲线符合一室药代动力学模型。

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三、实战案例解析

案例1：水塔流量估计

目标：根据水位记录数据，估计水塔流量及日总用水量。

步骤：

1. 分段拟合水位-时间曲线

   • 第1时段（0_{8.97小时）和第2时段（10.95}20.84小时）用3次多项式拟合。

   % 第1时段拟合  
   t1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];  
   h1 = [968, 948, 931, 913, 898, 881, 869, 850, 834, 822];  
   p1 = polyfit(t1, h1, 3);  
   

   • 第2时段类似操作。

2. 计算流量

   • 流量为水位函数的导数。

   dp1 = polyder(p1);  
   flow1 = -polyval(dp1, t1);  % 流量取负值  
   

3. 估计总用水量

   • 对各时段流量积分并求和。

   total_flow = trapz(t1, flow1) + trapz(t2, flow2);  
   disp(['日总用水量：', num2str(total_flow), '立方米']);  
   

结果：日总用水量约为1250.4立方米。

案例2：药物给药方案设计

背景：根据血药浓度数据设计给药剂量与间隔，确保浓度在安全范围内。
步骤：

1. 拟合血药浓度模型
   • 使用非线性拟合确定药代动力学参数 $k$ 和 $V$。
2. 计算给药方案
   • 首次剂量 $D_0=\frac{c_{2}V}{e^{-k\tau }}$，维持剂量 $D=D_0-c_{1}V$。

   k = 0.2347;  
   V = 15.02;  
   tau = 4;  % 给药间隔  
   D0 = 25 * V / exp(-k * tau);  
   D = D0 - 10 * V;  
   

结果：首次注射375mg，后续每次225mg，间隔4小时。

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四、拟合方法对比与MATLAB实现

方法	适用场景	MATLAB函数	核心代码示例
线性最小二乘	多项式、线性组合模型	polyfit	p = polyfit(x, y, 2);
非线性最小二乘	指数、对数等复杂模型	lsqcurvefit	x = lsqcurvefit(@fun, x0, tdata, ydata);
分段拟合	非连续或趋势变化数据	多次调用polyfit	p1 = polyfit(t1, y1, 3);

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五、总结与建议

1. 方法选择：根据数据分布选择线性或非线性模型，优先验证模型假设。
2. 模型评估：通过残差分析、$R^2$（决定系数）评估拟合优度。
3. MATLAB优势：
   • polyfit 快速实现多项式拟合，lsqcurvefit 灵活处理复杂非线性问题。
4. 应用扩展：拟合技术可结合信号处理、机器学习等领域进一步优化预测精度。

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通过本文的学习，读者可深入理解最小二乘法的数学原理，掌握MATLAB实现方法，并能够灵活应用于工程预测、医学分析等实际问题。