机器学习数学基础：29.t检验

t检验学习笔记

一、t检验的定义和用途

t检验是统计学中常用的假设检验方法，主要用于判断样本均值与总体均值间，或两个样本均值间是否存在显著差异。

在实际中应用广泛，例如在医学领域可用于比较两种药物的疗效；在教育领域，能评估不同教学方法对学生成绩的影响等，以此帮助判断实验或调查结果是否具有统计学意义。

二、t检验的基本原理

（一）t分布特性

t检验基于t分布。t分布是一种概率分布，与正态分布类似，但在样本量较小时，其尾部比正态分布更厚。这使得t分布在小样本情形下，能更好地应对样本的不确定性。

（二）t统计量计算

t检验的核心是计算t统计量。不同类型的t检验公式有所不同，但总体思路均是通过比较样本均值与总体均值，或两个样本均值的差异，同时考虑样本标准差和样本量，来衡量该差异是否显著。

以单样本t检验为例，公式为：$t=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$。其中，$\bar{X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$S$是样本标准差，$n$是样本量。

若计算的t值较大，超出给定显著性水平下的临界值，意味着样本均值与总体均值差异显著，有理由拒绝原假设，认为样本并非来自该总体，或两样本所代表的总体均值存在差异。

三、t检验的分类及应用场景

（一）单样本t检验

1. 目的：检验一个样本均值与已知总体均值是否有显著差异。
2. 案例：已知某地区成年男性平均身高为175cm，现从该地区随机抽取50名成年男性，测得平均身高为178cm，标准差为10cm。判断这50名男性身高与该地区总体成年男性身高是否有显著差异。
   • 计算过程
     • 明确已知条件：$\bar{X}=178$，$\mu =175$，$S=10$，$n=50$。
     • 代入公式计算t值：$t=\frac{178-175}{10/\sqrt{50}}=\frac{3}{10/7.07}=\frac{3}{1.41}\approx 2.13$。
     • 确定自由度$df=n-1=50-1=49$，选定显著性水平$\alpha =0.05$，查t分布表得临界值。
     • 若t值大于临界值，拒绝原假设，认为这50名男性平均身高与总体平均身高有显著差异；若小于临界值，接受原假设，认为无显著差异。

（二）独立样本t检验

1. 目的：比较两个独立样本的均值，判断两个不同组（如实验组和对照组）间是否存在差异。
2. 案例：对两种不同品牌电池进行续航测试，品牌A测试30个样本，平均续航10小时，标准差1.5小时；品牌B测试25个样本，平均续航9小时，标准差1.2小时。比较两种品牌电池续航能力是否有显著差异。
   • 计算过程
     • 构建数据：${\bar{X}}_1=10$，$S_1=1.5$，$n_1=30$；${\bar{X}}_2=9$，$S_2=1.2$，$n_2=25$。
     • 计算合并方差$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{(30-1)\times 1.5^2+(25-1)\times 1.2^2}{30+25-2}=\frac{29\times 2.25+24\times 1.44}{53}=\frac{65.25+34.56}{53}\approx 1.88$。
     • 计算t值：$t=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{\sqrt{S_p^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}=\frac{10-9}{\sqrt{1.88\times (\frac{1}{30}+\frac{1}{25})}}=\frac{1}{\sqrt{1.88\times (\frac{5+6}{150})}}=\frac{1}{\sqrt{1.88\times \frac{11}{150}}}\approx 2.64$。
     • 确定自由度$df=n_1+n_2-2=30+25-2=53$，根据显著性水平$\alpha =0.05$查t分布表得临界值，比较t值与临界值判断是否有显著差异。

（三）配对样本t检验

1. 目的：比较配对样本（如同一组对象前后两次测试数据）的均值差异，判断某种处理或时间因素等对结果的影响。
2. 案例：对15名学生进行培训前后成绩测试，培训前平均成绩75分，培训后80分，成绩差值标准差为5分。判断培训是否有效提高学生成绩。
   • 计算过程
     • 已知$\bar{d}=80-75=5$（$\bar{d}$为成绩差值均值），$S_d=5$，$n=15$。
     • 计算t值：$t=\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{5}{5/\sqrt{15}}\approx 3.87$。
     • 自由度$df=n-1=15-1=14$，根据$\alpha =0.05$查t分布表得临界值，比较t值与临界值判断培训是否有效。

四、t检验的步骤总结

（一）提出原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）

1. 单样本t检验：$H_0$：$\bar{X}=\mu$；$H_1$：$\bar{X}\ne \mu$。
2. 独立样本t检验：$H_0$：${\mu }_1={\mu }_2$；$H_1$：${\mu }_1\ne {\mu }_2$。
3. 配对样本t检验：$H_0$：${\mu }_d=0$（${\mu }_d$为配对差值的总体均值）；$H_1$：${\mu }_d\ne 0$。

（二）计算t统计量

依据不同类型t检验的相应公式计算t值。

（三）确定自由度

按照不同类型t检验的自由度计算公式确定，如单样本和配对样本t检验自由度为$n-1$，独立样本t检验自由度为$n_1+n_2-2$。

（四）查找临界值

根据选定的显著性水平和自由度，查阅t分布表找到临界值。

（五）做出决策

比较计算的t值与临界值，t值大于临界值，拒绝原假设；t值小于临界值，接受原假设。

五、注意事项

（一）数据正态性

t检验通常要求数据服从正态分布，小样本时尤其重要。若数据明显不服从正态分布，可能需进行数据转换或采用非参数检验方法。

（二）方差齐性

独立样本t检验中，一般要求两样本方差相等（方差齐性）。可通过方差齐性检验判断，不满足时可能需用校正的t检验方法。

（三）样本独立性

独立样本t检验中，样本应相互独立，无关联或依赖关系；配对样本t检验中，配对的合理性和准确性很关键，要确保配对依据合理有效。

六、原假设与备择假设的设定原则

（一）完备且对立原则

原假设和备择假设构成完备事件组且相互对立，在假设检验中必有且仅有一个成立。例如，判断硬币是否均匀，$H_0$：硬币均匀（正面朝上概率$p=0.5$）；$H_1$：硬币不均匀（$p\ne 0.5$），涵盖所有情况且不能同时成立。

（二）先备择后原假设原则

通常先确定备择假设，因其往往是研究者关心、欲支持或证实的内容，相对更易明确。比如，研究者猜测新药物比传统药物疗效好，$H_1$：新药物疗效优于传统药物；$H_0$：新药物疗效不比传统药物好。

（三）等号原则

等号“$=$”总放在原假设上。原假设一般表示变量间无差异、无影响或参数等于特定值等情况。例如，比较两总体均值，$H_0$：${\mu }_1={\mu }_2$；$H_1$：${\mu }_1\ne {\mu }_2$。

（四）主观性原则

假设确定具主观性，不同研究者因研究目的、背景知识和角度不同，对同一实际问题可能提出相反假设，但都应符合最终目的。比如，研究政策对经济增长影响，关注政策是否有效时，$H_0$：政策对经济增长无影响，$H_1$：政策对经济增长有影响；关注政策是否有负面效果时，$H_0$：政策对经济增长无负面影响，$H_1$：政策对经济增长有负面影响。

（五）目的导向原则

假设检验主要是收集证据拒绝原假设。原假设通常是被怀疑、需样本数据提供证据否定的假设。有足够证据时拒绝原假设，接受备择假设；无充分证据时，不意味着完全接受原假设，只是暂时无理由否定。

七、单尾概率和双尾概率在t检验中的应用

（一）单尾概率在t检验中的应用

案例背景：某公司研发了一种新型减肥药物，为了检验其效果，随机选取了50名肥胖患者作为样本进行临床试验。已知未使用该药物时，肥胖人群的平均体重下降量为0kg（可视为总体均值）。经过一段时间使用后，测得这50名患者的平均体重下降了3kg，标准差为1.5kg。公司想要了解这种新型减肥药物是否能显著降低体重，即只关心体重是否下降，不关心是否会使体重增加，此时采用单尾t检验。

假设设定：

• 原假设$H_0$：$\mu \ge 0$（药物没有显著降低体重，即总体平均体重下降量大于等于0）
• 备择假设$H_1$：$\mu <0$（药物显著降低体重，即总体平均体重下降量小于0）

检验过程：

• 计算t统计量：已知$\bar{X}=3$（样本均值），$\mu =0$（总体均值），$S=1.5$（样本标准差），$n=50$（样本量），根据单样本t检验公式$t=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$，可得$t=\frac{3-0}{1.5/\sqrt{50}}\approx 14.14$。
• 确定自由度$df=n-1=50-1=49$，假设选定显著性水平$\alpha =0.05$，在t分布表中查找单尾概率$P(1)=0.05$对应的临界值（假设为 - 1.677，实际值需根据具体精确的t分布表确定）。
• 由于计算得到的t值$14.14>-1.677$，且在单尾检验中，这里是左侧单尾检验，当t值小于临界值时拒绝原假设，而此例中t值远大于临界值，说明样本数据不支持原假设，拒绝$H_0$，接受$H_1$，即认为这种新型减肥药物能显著降低体重。

（二）双尾概率在t检验中的应用

案例背景：研究人员想要比较两种不同品牌的灯泡使用寿命是否存在差异。分别从品牌A和品牌B的灯泡中随机抽取了30个和25个样本进行测试。品牌A灯泡样本的平均使用寿命为1000小时，标准差为50小时；品牌B灯泡样本的平均使用寿命为980小时，标准差为40小时。研究人员不确定哪个品牌的灯泡使用寿命更长或更短，只是关注它们之间是否有显著差异，所以采用双尾t检验。

假设设定：

• 原假设$H_0$：${\mu }_1={\mu }_2$（两个品牌灯泡的总体平均使用寿命相等）
• 备择假设$H_1$：${\mu }_1\ne {\mu }_2$（两个品牌灯泡的总体平均使用寿命不相等）

检验过程：

• 计算t统计量：先计算合并方差$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{(30-1)\times 50^2+(25-1)\times 40^2}{30+25-2}\approx 2052.38$，再根据独立样本t检验公式$t=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{\sqrt{S_p^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}=\frac{1000-980}{\sqrt{2052.38\times (\frac{1}{30}+\frac{1}{25})}}\approx 1.64$。
• 确定自由度$df=n_1+n_2-2=30+25-2=53$，选定显著性水平$\alpha =0.05$，在t分布表中查找双尾概率$P(2)=0.05$对应的临界值（假设为$\pm 2.006$，实际值需根据具体精确的t分布表确定）。
• 由于计算得到的t值$1.64$，其绝对值$|1.64|<2.006$，说明样本数据支持原假设，不拒绝$H_0$，即目前没有足够证据表明两个品牌灯泡的使用寿命存在显著差异。

综上，单尾概率适用于明确关注差异方向的研究，双尾概率适用于不确定差异方向，仅想知道是否存在差异的研究。