20.【线性代数】——坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式

定理

在坐标系中，由向量（a,b）和向量(c,d)组成平行四边形的面积= 矩阵$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$的行列式，即：
$$平行四边形的面积=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

验证

h

S表示面积
$$\begin{gathered} S_{\text{红4}}=cd \\ {S}_{\text{绿5}}=ab \\ {S}_{\text{橙6}}=ab \\ {S}_{\text{黄7}}=cd \end{gathered}$$
得出
$$\begin{gathered} S_{\text{绿5}}=S_{\text{橙6}} \\ {S}_{\text{红4}}=S_{\text{黄7}} \\ {S}_{\text{蓝8}}+S_{\text{绿5}}+S_{\text{红4}}=ad \end{gathered}$$

图中，$S_{\text{紫}}=S_{\text{紫1}}+S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}}=bc$
现在看平行四边形的面积，如下：
$$S_{\text{平行四边形}}=S_{\text{蓝8}}+(S_{\text{橙6}}-S_{\text{紫2}})+(S_{\text{黄7}}-S_{\text{紫1}})-S_{\text{紫3}}$$

减去 $S_{\text{紫3}}$，是因为$S_{\text{紫3}}$加了两次

$$\begin{array}{rl}{S}_{\text{平行四边形}}& =S_{\text{蓝8}}+(S_{\text{橙6}}-S_{\text{紫2}})+(S_{\text{黄7}}-S_{\text{紫1}})-S_{\text{紫3}}\\ & =S_{\text{蓝8}}+S_{\text{橙6}}+S_{\text{黄7}}-S_{\text{紫1}}-S_{\text{紫2}}-S_{\text{紫3}}\\ & =(S_{\text{蓝8}}+S_{\text{绿5}}+S_{\text{红4}})-(S_{\text{紫1}}+S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}})\\ & =ad-bc\end{array}$$