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4.【线性代数】——矩阵的LU分解

news 2026/2/10 20:12:04

四矩阵的LU分解

- 1. AB的逆矩阵
- 2. 转置矩阵
- 3. A=LU
- - 3.1 2x2矩阵
  - 3.2 3x3矩阵
  - 3.3 nxn的矩阵分解的次数？

1. AB的逆矩阵

$\begin{cases} (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\\ (B^{-1}A^{-1}) (AB)=I \end{cases} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

2. 转置矩阵

$\begin{aligned} AA^{-1}=I & \newline \xRightarrow{\text{两边同时转置}} (AA^{-1})^{T}=I &\newline \xRightarrow {(AB)^T = B^TA^T} (A^{-1})^TA^T=I \end{aligned}$
转置矩阵的逆 = 逆矩阵的转置

3. A=LU

3.1 2x2矩阵

A矩阵进行消元，可以得到EA=U
$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ -4&1 \end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U}$
两边同时乘以 $E^{-1}$ ，得到A=LU。其中L为下三角矩阵(lower),U为上三角矩阵(upper)。
$\underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ 4&1 \end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U}$

3.2 3x3矩阵

样例来源于 2.【线性代数】——矩阵消元的第三部分
其中 $E_{21}$ 表示 $row_2-3row_1$ , $E_{32}$ 表示 $row_3-2row_2$
$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{32}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&2&-2\\ 0&0&5 \end{bmatrix}}_{\text{U}}$
$A=(E_{21})^{-1}(E_{32})^{-1}U$
逆矩阵的求法，参考 2.【线性代数】——矩阵消元的第五部分
$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{21})^{-1}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&2&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{32})^{-1}} =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ \boxed{3}&1&0\\ 0&\boxed{2}&1\\ \end{bmatrix}$
为什么用L矩阵？

因为在不存在行交换的额情况下，消元乘数可直接写入L

3.3 nxn的矩阵分解的次数？

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a&b\\ c-a*{\frac c a}&d-b*{\frac c a}\\ \end{bmatrix}, \boxed{c-a*{\frac c a}}是一次操作。$
那么100x100的矩阵，获得第一个主元的估算操作数为 $100^2$ ；获得第二个主元的估算操作数为 $99^2$ ；获得第三个主元的估算操作数是 $98^2$ …
求和为 $1^2+2^2+...+n^2\approx{\frac 1 3}n^3$